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Abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist zyklisch
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsch, Beweis, Gruppe, Gruppen, Lagrange, Ordnung, zyklisch
 
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Hallo, Ich soll beweisen, dass eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 zyklisch ist, . dass es ein a gibt mit . Den Lösungsansatz den mein Dozent gegeben hat ist: Bestimmen Sie zunächst die möglichen Ordnungen der Elemente von G. Mein Ansatz dazu: nach dem Satz von Lagrange können die Elemente der Ordnung sein. Ordnung 1 hat nur das neutrale Element . Weiter im Lösungsansatz: Zeigen Sie durch Abzählen der Elemente einschließlich ihrer Produkte und Inversen, dass es ein Element a der Ordnung 2 und ein Element der Ordnung 3 geben muss. Betrachten Sie dann das Produkt ab. Wie soll ich das machen?? Da stehe ich einfach komplett auf dem Schlauch! Mögliche Elemente sind ja . Die Produkte: ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. Und die Inversen von den Elementen und den Produkten... Aber was soll ich jetzt damit machen bzw. Wie sehe ich daran etwas mit den Ordnungen? Kann mir da vielleicht irgendjemand behilflich sein? Vielen Dank! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, nimm mal an, dass es zwei verschiedene Elemente gäbe, die die Ordnung 2 haben. Zeige, dass dann eine Untergruppe von wäre. Dann überlege, warum das nicht möglich ist. Überlege dir, warum es außer nicht nur Elemente der Ordnung 3 geben kann. Als Konsequenz daraus schließe auf die Existenz eines mit Ordnung 2 und eines mit Ordnung 3, und mache dir Gedanken über die Ausdrücke und schließlich über die . Gruß ermanus |
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Hallo, gibt es hier noch eine Rückmeldung? |
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Da sich die Fragestellerin vermutlich in Luft aufgelöst hat, hier für die Interessierten eine Lösung: Wir betrachten die Menge . Dies ist eine Partition von . Da die Anzahl der Elemente von gerade ist, muss auch die Anzahl der einlementigen gerade sein. Nun ist einelementig, also muss es mindestens noch ein anderes einelementiges geben. Es gibt also ein mit , , also . Gemäß meinem Post vom 24.11. um 20:24 Uhr ist dann das einzige Element der Ordnung 2. Damit haben alle Elemente jeweils die Ordnung 3 oder 6. Hat die Ordnung 6, so sind wir fertig. Hat die Ordnung 3, so hat die Ordnung 6, da die Elemente alle verschieden sind. Gruß ermanus |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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