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Ableitung Skalarprodukt, Beweis Differenzierbarkei

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Grenzwert, Skalarprodukt

einspluszwei aktiv_icon

10:16 Uhr, 05.12.2018

Hallo zusammen,

gegeben ist:

d \in ℕ, Φ : ℝ^{d} \times ℝ^{d} \to ℝ

ist ein Skalarprodukt.
Zeige:

Φ

in jedem Punkt

(a, b) \in ℝ^{d} \times ℝ^{d}

und

Φ' (a, b) [x, y] = Φ [a, y] + Φ [x, b]

für alle

x, y \in ℝ^{d}

.

Die Ableitung habe ich mit der Produktregel berechnet, soweit kein Problem.

Nun müsste ich noch zeigen, dass

Φ

differenzierbar ist.
Hierzu:

lim_{(x, y) \to (a, b), (x, y) \neq (a, b)} \frac{| Φ (x, y) - Φ (a, b) - Φ' [(x, y) - (a, b)] |}{| | (x, y) - (a, b) | |} = 0

Wenn ich nun die Skalarprodukte in Zähler einfüge, dann komme ich dabei aber auf nichts, was mir den Grenzwert 0 generieren könnte.

Ich hoffe jemand kann mir einen kleinen Tipp dazu geben.

Danke und viele Grüße
einspluszwei

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

13:34 Uhr, 05.12.2018

Hallo,

zunächst hast Du bei

Φ'

zuletzt das Argument

(a, b)

vergessen (?)

Vielleicht eine technische Hilfe: Die Konvergenz hängt ja, davon ab, dass die Differenz

(x, y) - (a, b)

klein wird. Um da die Orientierung zu finden, schreibe ich lieber

(x, y) = (a + s, b + t)

und muss dann die Terme in

s

und

t

sammeln und "klein kriegen". Die Differenz im Zähler darf nach Umformung keine linearen Terme in

s

oder

t

mehr enthalten.

Gegebenenfalls musst Du mal Deine Umformung posten.

Gruß pwm

einspluszwei aktiv_icon

14:16 Uhr, 05.12.2018

Hallo,

das Argument habe ich vergessen, das ist richtig!

Für

(x, y) = (a + s, b + t)

erhalte ich folgenden Ausdruck:

lim_{(a + s, b + t) \to (a, b), (a + s, b + t) \neq (a, b)} \frac{Φ (a + s, b + t) - Φ (a, b) - Φ' (a, b) [(a + s, b + t) - (a, b)]}{| | (a + s, b + t) - (a, b) | |} =

lim_{(a + s, b + t) - (a, b), (a + s, b + t) \neq (a, b)} \frac{< a + s, b + t > - < a, b > - < a + s - a, b + t > - < a + s, b + t - b >}{| | (s, t) | |}

Hier bin ich mir aber nicht sicher ob der Ausdruck für

Φ' (a, b) [(a + s, b + t) - (a, b)]

korrekt eingesetzt wurde?

Danke und viele Grüße
einspluszwei

pwmeyer aktiv_icon

18:43 Uhr, 05.12.2018

Wurde er nicht.

Warum nutzt Du nicht die Vereinfachung

(a + s, b + t) - (a, b) = (s, t)

?

Gruß pwm

einspluszwei aktiv_icon

21:17 Uhr, 05.12.2018

Nun, das würde das ganze natürlich etwas schlanker gestalten.

lim_{(a + s, b + t) \to (a, b), (a + s, b + t) \neq (a, b)} \frac{< a + s, b + t > - < a, b > - < a, t > - < s, b >}{| | (s, t) | |} =

lim_{(a + s, b + t) \to (a, b), (a + s, b + t) \neq (a, b)} \frac{< a, b >}{| | (s, t) | |} \leq lim_{(a + s, b + t) \to (a, b), (a + s, b + t) \neq (a, b)} \frac{| | a | | | | b | |}{| | (s, t) | |}

Hier würde ich gerne die den Zähler herauskürzen, bzw. ich denke darauf zielt es schlussendlich ab.
Nur sehe ich nicht wie ich dazu komme?

Viele Grüße
einspluszwei

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