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Ableitung bei f(x,y)=0 bilden

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Tags: Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

Blixx aktiv_icon

19:59 Uhr, 20.06.2017

Hi

Ich habe die Funktion

f (x, y) = \frac{2 x^{3} + x^{4} - x^{3} \cdot y}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und

f (x, y) = 0

für

(x, y) = (0,0)

gegeben.

Ich soll jetzt die partiellen Ableitungen im Punkt

(0,0)

bestimmen. Kann ich jetzt einfach sagen, dass die Ableitungen 0 sind, oder muss ich zunächst die Stetigkeit prüfen? Und wie würde ich dann vorgehen? Einfach

x

und

y

gegen 0 laufen lassen und L'Hospital anwenden? Und wenn ich mit L'Hospital arbeiten muss, welche Ableitung muss ich dann jeweils nehmen? Muss ich also für die partielle Ableitung nach

x

auch bei L'Hospital nur nach

x

ableiten, oder muss ich beides machen und so eine Fallunterscheidung treffen?

Hoffe ihr könnt mir helfen und es war einigermaßen verständlich was ich wollte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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michaL aktiv_icon

08:36 Uhr, 21.06.2017

Hallo,

wenn du die Stetigkeit in Null vorher prüfen sollst, dann müsste das aus der Aufgabenstellung klar werden. Denn: Aus (totaler) Differenzierbarkeit folgt bekanntermaßen Stetigkeit.
Falls du auf Stetigkeit in Null prüfen möchtest, so hilft oft (und insbesondere auch hier) die Umwandlung in Polarkoordinaten.

r

lässt sich aus dem Nenner kürzen, dann

r \to 0

und fertig.

Die partiellen Ableitungen lassen sich ja nach Schema F berechnen. Um den Wert im Ursprung zu bestimmen, eignet sich eigentlich nur der Grenzwert der partiellen Ableitungsfunktion(en) für

(x, y) \to 0

.

Mfg Michael

pwmeyer aktiv_icon

11:19 Uhr, 21.06.2017

Hallo,

um die partiellen Ableitungen im Nullpunkt zu bestimmen, musst Du die Grenzwerte der Differenzenquotienten bilden, also

z . b . :

\frac{f (h,0) - f (0,0)}{h} \to

?

Gruß pwm

Blixx aktiv_icon

17:23 Uhr, 21.06.2017

Ok,

Ich hab jetzt mit dem Ansatz über die Polarkoordinaten gearbeitet. Mit Limes von

r

gegen Null erhalte ich auch Null und gehe so von Stetigkeit aus. Damit sollte ich ja Die Ableitungen bilden können im Punkt

(0,0)

und die sollten wiederrum ja auch Null sein.

Ok, dann berichte ich mal weas mein Tutor sagt, sobald ich die Übung zurück bekomme. Vielen Dank euch allen.

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