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Abstandsfunktion und Abgeschlossenheit

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Funktionentheorie

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Abstandsfunktion, Funktion, Funktionentheorie, Grenzwert, kompaktheit, Stetigkeit

Maria1998 aktiv_icon

00:16 Uhr, 17.05.2020

Hallo!

Ich würde gerne den Beweis (siehe Anhang) machen. Dazu will ich zuerst die Richtung:

"=>" wenn der Abstand angenommen wird, folgt daraus, dass A abgeschlossen ist, zeigen. Ich habe mir überlegt diese Richtung mit einem Widerspruch zu zeigen, also:

Angenommen der Abstand wird für alle

x \in X

angenommen und A ist nicht abgeschlossen. Wenn A nicht abgeschlossen ist, muss A offen sein,

d . h

. der Rand der Menge A ist nicht enthalten. Mein Abstand ist ja durch das Infimum definiert und wir befinden uns in einer Teilmenge des

ℝ^{n}

. Ich müsste also zu einem beliebigen

x \in X

einen Minimalabstand zu einem Punkt aus

a \in A

finden. Ich wähle nun eine Folge

(a_{n}) \in A,

die gegen den Minimalabstand zu

x,

dem Punkt a auf dem "Rand" konvergiert (diesen Punkt a aber nicht erreichen kann weil der Rand ja nicht in A liegt). Der Abstand dieser Folge zum Punkt a kann also kleiner werden als jedes

ε > 0,

wird aber nie 0 werden. Dies bedeutet, dass ich keinen konkreten Minimalabstand finden kann. Das steht aber im Widerspruch dazu, dass der Abstand existiert.

Ist das so richtig? Bzw. falls es richtig argumentiert ist, wie kann ich dies formalisieren (Leider habe ich damit noch ein bisschen Probleme)

Danke schonmal im Voraus!!

Gruß

Maria

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ermanus aktiv_icon

10:18 Uhr, 17.05.2020

Hallo Maria,

ich denke, dass deine Vorstellungen richtig sind
(nur ein kleiner Schnitzer: wenn

A

nicht abgeschlossen ist, muss

A

keineswegs offen sein, aber richtig ist, dass

A

dann mindestens ein
Randpunkt fehlt).
Nun bin ich kein großer Freund von Widerspruchsbeweisen, daher hier
ein direkter Beweis von "

\Rightarrow

", der eigentlich recht kurz ist:

x \in \partial A \Rightarrow

Zu jedem

ε > 0

existiert ein

y_{ε} \in U_{ε} (x) \cap A \neq \emptyset

, also

d_{A} (x) \leq ∥ x - y_{ε} ∥_{2} < ε

.
Da

ε

beliebig ist, folgt

d_{A} (x) = 0

.
Weil

d_{A} (x)

angenommen wird, gibt es

a \in A

mit

0 = d_{A} (x) = ∥ x - a ∥_{2} \Rightarrow x = a \in A

,
folglich insgesamt

\partial A \subseteq A

, also

A

abgeschlossen.

Gruß ermanus

Maria1998 aktiv_icon

21:26 Uhr, 17.05.2020

Hallo Ermanus!

Dankeschön! Du hast mir sehr geholfen! Nur noch eine kurze Rückfrage zur ersten Richtung: Warum, wenn meine Menge nicht abgeschlossen ist, ist sie dann nicht automatisch offen?

Ich habe mir einstweilen die zweite Richtung überlegt und habe mir folgendes gedacht (ich hoffe ich kann es so formal wie möglich auschreiben):

Sei

x \in X

beliebig und fest gewählt. Ich schaue mir nun die Funktion

f_{x} : A \to ℝ

mit f_x(y)=∥x−y∥_2. Mein A muss nicht unbedingt kompakt sein, also schränke ich meine Funktion

f_{x}

so ein, dass diese kompakt wird:

Ich wähle einen Ball B_dA(x)=

{y \in A :

∥x−y∥_2

\leq d_{A} (x) + ε}

Sei

M :=

B_dA(x)

\cap A

Laut Voraussetzung ist A abgeschlossen und B_dA(x) ist ebenfalls abgeschlossen. Der Schnitt zweier abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen, also ist

M

abgschlossen. Außerdem ist der Ball beschränkt.

Da wir uns in einem endlichdmensionalen Raum befinden folgt damit, dass

f_{x}

eingeschrängt auf

M

kompakt ist.

Da

f_{x}

eingeschränkt auf

M

also beschränkt und Lischitzstetig (also auch stetig)und kompakt ist, wird auf

f_{x}

eingeschränkt auf

M

das Minimum und Maximum angenommen. Dieses Minimum ist unser Infimum.

Wenn jetzt

a \in M

das Minimum ist, dann folgt:

∥x−a∥_2

\leq

∥x−y∥_2 für alle

y \in A

(diese

y

müssen ja nicht unbedingt in

M

liegen)

Somit ist ∥x−a∥_2

= d_{A} (x)

Kann ich so argumentieren? Bzw. ist das formal korrekt? Ich habe nämlich das Gefühl, dass zum Schluss noch etwas fehlt.. Ich bin mir nämich auch unsicher, ob ich daraus dass a mein Infimum ist schlussfolgern kann, dass das auch mein Minimalabstand zu

x

ist...

Danke schonmal!

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

23:01 Uhr, 17.05.2020

Hallo Maria,

zum Abgeschlossen- vs. Offenproblem. Hier als Beispiel

(0, 1]

ist nicht abgeschlossen, aber auch nicht offen.

Deine Argumentation für "

\Leftarrow

" muss ich mir noch etwas genauer ansehen.
Im Augenblick scheint sie mir korrekt zu sein, aber wer weiß,
was morgen ist ;-)

Gruß ermanus

Maria1998 aktiv_icon

09:30 Uhr, 18.05.2020

Guten Morgen!

Danke für das anschauliche Beispiel!

Das wäre sehr nett! Ich würde mich wirklich freuen, den Beweis zu schaffen (und wenn meine Ansätze stimmen).

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

10:08 Uhr, 18.05.2020

Hallo Maria,
nach meinem Dafürhalten ist dein Beweis OK.
Sprachlich ist er an in paar Stellen verbesserbar:
der Begriff "kompakte Funktion", also bei dir z.B. in
"..., dass

f_{x}

eingeschränkt auf

M

kompakt ist ..."
ist unüblich, es ist vielmehr so, dass

f_{x} (M)

kompakt ist,
da

M

kompakt ist und

f_{x} : M \to [0, \infty)

stetig ist
(Normen sind stetig). Also der Begriff "kompakt" wird üblicherweise
auf Mengen angewendet, nicht auf Abbildungen (außer bei linearen
Operatoren in Hilberträumen).
Statt "wenn jetzt

a \in M

das Minimum ist" solltest du
lieber schreiben "wenn jetzt in

a \in M

das Minimum angenommen wird ..."

Übrigens: es ist nicht klar, wo das

ε

herkommt.

Soweit erstmal ...

Gruß ermanus

Maria1998 aktiv_icon

10:36 Uhr, 18.05.2020

Hallo Ermanus!

Erstmals vielen Dank! Also ist der Beweis, außerhalb dieser falschen Bezeichnungen deiner Meinung nach richtig?

Also auch zum Schluss, kann ich weil es ein Minimum a gibt schlussfolgern, dass von dem festen

x

a,

dies tatsächlich der Minimalabstand ist?

Zu

ε :

Die Idee war einen Ball mit einem Radius zu nehmen, der größer als der Minimalabstand

d_{A}

ist. Durch die Addition von

ε > 0

erhalte ich also einen solchen Radius

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

10:42 Uhr, 18.05.2020

Also über den Schluss sollte ich nochmal nachdenken, komme aber erst ca. mittags
dazu. Den Sinn deines

ε

habe ich schon verstanden; dennoch
musst du es in deinem Text vor der Verwendung einführen.
Also bis später ...

Maria1998 aktiv_icon

13:05 Uhr, 18.05.2020

Hallo Ermanus!

Achso danke, ja stimmt, das

ε

sollte ich wirklich vorher erwähnen.

Alles klar, danke!

Bis später

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

15:09 Uhr, 18.05.2020

Ziemlich zum Schluss sagst du
"Wenn jetzt

a \in M

das Minimum ist,....", womit du meinst:
"Wenn jetzt

f_{x}

a \in M

sein Minimum annimmt, dann folgt:"
Ich würde dann so fortfahren:

∥ x - a ∥ \leq ∥ x - y ∥

für alle

y \in M

.
Für alle

y \in A \ M

gilt aber ohnehin

d_{A} (x) + ε < ∥ x - y ∥

, so dass sogar

∥ x - a ∥ \leq ∥ x - y ∥

für alle

x \in A

gilt.
Damit ist

∥ x - a ∥

eine untere Schranke von

{∥ x - y ∥ : y \in A}

und da

a

selbst in

A

liegt, gleich dem Infimum

d (A)

.

Ist vielleicht ein bisschen wortreich, aber da kann wohl keiner
mehr etwas dran aussetzen.

Maria1998 aktiv_icon

17:43 Uhr, 18.05.2020

Danke, ich gehe den Beweis gerade nocheinmal gedanklich durch und habe mich gerade selber verwirrt..:( Ich kann schon am Anfang schließen, dass mein Ball abgeschlossen ist oder?

Tut mir leid für die vielen Fragen.

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

17:46 Uhr, 18.05.2020

Dass dein Ball abgeschlossen ist, ist durch seine Definition als der
abgeschlossene Ball mit Radius

d_{A} (x) + ε

klar nach dem berühmten Satz:
"abgeschlossene Bälle sind abgeschlossene Mengen" ;-)

Maria1998 aktiv_icon

19:41 Uhr, 18.05.2020

Hallo Ermanus!

Danke, mein Kopf hat schon geraucht, ich brauchte eine kurze Pause :-)

Also nur damit ich jetzt deine Verbesserungsvorschläge richtig verstanden habe und eine kurze formale Frage:

1.

f_{x} (M)

ist kompakt, weil

M = A \cap B_{d_{A} (x) + ε}

kompakt und beschränkt ist

2. Weil

f_{x} (M)

mit

f_{x} : M \to ℝ

stetig und kompakt ist, kann ich den Satz vom Minimum und Maximum verwenden. Also

f_{x}

nimmt auf

M

sein Minimum = Infimum an.

3. Du hast geschrieben: ∥x-a∥≤∥x-y∥ für alle x∈A gilt

Meintest du hier

y \in A

? Weil

x

ist ja sowieso fest gewählt.

4. zu: Damit ist ∥x-a∥ eine untere Schranke von

{

∥x-y∥:y∈A} und da a selbst in A liegt, gleich dem Infimum

d (A)

.

Ist dies gleichbedeutend als, wenn ich in die Definiton einsetzte, also:

∥x-a∥_2 = inf_(y in A)∥x-y∥_2

= d_{A} (x)

?

Und weil mein

x

beliebig gewählt war wird der Abstand

d_{A} (x)

also für jedes

x

angenommen.

(Mit

f_{x}

muss ich dann nicht mehr argumentieren, das brauche ich nur damit ich den Satz vom Minimum und Maximum anwenden darf oder?)

5. Dass ich immer

y

schreibe ist formal auch egal oder?

Vielen, vielen Dank.

Gruß Maria

ermanus aktiv_icon

20:19 Uhr, 18.05.2020

Zu 1. und 2.:

f_{x} (M) \subseteq ℝ

ist kompakt, weil

M

kompakt ist und

f_{x}

stetig ist.
(das stetige Bikd eines Kompaktums ist kompakt, die Beschränktheit muss
man nicht erwähnen). Daher gilt der Satz vom Minimum und Maximum.

Zu 3. Da habe ich mich verschrieben, sorry.

Zu 4. Ja.

Zu 5. Du kannst immer

y

schreiben.

Maria1998 aktiv_icon

20:38 Uhr, 18.05.2020

Lieber Ermanus!

Danke für deine Geduld und Hilfe!

Ganz liebe Grüße

Maria

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