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Achselspiegelung - Drehspiegelung
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Drehspiegelung, Spiegelachsen bestimmen, Winkel
 
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Hallo zusammen, folgende Aufgabe habe ich gestellt bekommen Gegeben sind die Strecke AB mit und sowie die Strecke A´B´ mit A´ und B´ . Bilden Sie durch 2 hintereinander ausgeführte Spiegelungen AB auf A´B´ ab. Beschreiben Sie die Konstruktion. Durch welche Drehung DM; a wird AB auf A´B´ abgebildet? Geben Sie die Koordinaten von und die Größe des Drehwinkels aan. Wie muß ich dabei vorgehen? Bitte ein wenig mit Erklärung,wie man dies macht! Als erstes habe ich die Punkte AA´ und BB´ verbunden, aber wie geht man weiter vor? Der nächste Schritt der mir einfiel, auf diesen Geraden, die durch die Verbindung entstand, habe ich die Mittelsenkrechten eingezeichnet und deren Schnittpunkt als Drehpunkt bestimmt, das müsste ja erst einmal richtig sein,oder? Vieleicht hat jemand Tips, die mich auf den richtigen Weg bringen und Selbsterklärend sind, wie auch immer, vielen Dank für eure Hilfe! Zu so und nun komme ich erstmal nicht weiter ;-) - Tips wären gut :-D) Meine Vermutung wäre nun - Winkelhalbierende oder so einzuzeichnen, bin ich auf dem richtigen Wege? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Winkel - Einführung Winkelberechnungen |
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Hallo,
bei der Aufgabe ist eine Skizze (möglichst genau) schon gut, dann sieht man, dass die Gerade einmal an einem Punkt und das andere Mal an einer Achse gespiegelt werden muß. Was mir dabei auffielist, dass um 6 nach unten und A um 2 nach oben muß und dass bei beiden auf exakt halben Wege der Wert 5 liegt. Also nahm ich an, dass der Spiegelpunkt die y-Koordinate 5 hat. Analog sieht man, dass die x-Koordinate 9 haben muss. Damit erhält man und und man findet die Spiegelachse anschließend sehr einfach. Das Ergebnis ist im Anhang dargestellt. Bei der Aufgabe sehe ich durch die Drehung zwei Kreise, die den gleichen Mittelpunkt aber unter Umständen unterschiedliche Radien und haben. Die Punkte A und erfüllen die Kreisgleichung: Und die Punkte und die Gleichung: Das ergibt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem sollte man mal versuchen zu lösen. Zur Kontrolle ist die Drehung ebenfalls mit im Anhang eingezeichnet.  |
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Danke erstmal - war anscheinend zu doof mal den ganzen Satz durch zu lesen - schließlich steht da nur zwei Spiegelungen und nicht zwei Achsenspiegelungen oder sowas ;-) Ich versuche jetzt mal mit dem Gelesenen von dir auf die Lösung zu kommen (muß ja auch verstehen wie ich darauf komme und wie ichs selber löse ;-) ) |
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Ich habe das jetzt nochmal durchdacht, ich habe zwar die Drehung mit der Spiegelung, eher durch Zufall hinbekommen, doch wird das wohl nicht gefragt sein! Eine Drehung ist keine Spiegelung, eben nur eine Drehung oder sehe ich das falsch? Mein Drehpunkt wäre bei der Aufgabe |
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hallo Christian09, wie kommst du denn auf M(5:5)? |
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ok habe ihn falsch verstanden, also neuer Ansatz ;-) Du könntest deine Zwischenstände ja auch mal posten! Und somit ergibt seine Zeichnung auch Sinn :-D) ok, neuer Anlauf.... |
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Hallo,
die angehängte Graphik mag Dir falsch wirken, ist aber korreekt. Es wird zunächst eine Spiegelung am Punkt durchgeführt und anschließend eine Spiegelung an der Symmetrieachse . Im übrigen ist eine Spiegelung an einem Punkt nichts anderes als eine Drehung, allerdings mit dem Drehwinkel 180°. Insofern muß eine Drehung als erster Schritt den Punkt als Mittelpunkt haben! Wenn Du an der Zeichnung, Rechnung, . etwas nicht verstehst, dann wäre es wesentlich sinnvoller, danach zu fragen und sich das Ganze erklären zu lassen als mit falschen Behauptungen andere, die Dir ohne jeden eigenen Nutzen geholfen haben, abzuschrecken, Dir auch weiterhin zu helfen. |
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naja ich habe die punkte eingetragen und anschließend habe ich die punkte AA´ und BB´verbindet dabei habe ich denn punkt Z (zentrum) bekommen und weiter wusste ich jetzt auch nicht :-(
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ok die zeichnung habe ich zwar verstanden wie kommst du aber auf e und f? |
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Ja sry Bummerang, ich hatte mich bereits korrigiert,als ich endlich begriff! ;-) - lass dich nicht beirren, widersprich mir einfach - darauf bestehe ich ja ;-) Ich glaube so versteht mans und bekommt die fehlenden Gedanken rein und die falschen raus! Aber eins will mir noch nicht in den Sinn, wie kommst du auf die 9 ? Aber bitte durch Konstruktion oder eine sinnhafte Erklärung! |
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man verbindet die pkt A und A´´ . mittelsenkrechte von AA´´ ergibt 9 oder? |
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Die musst du ja mit der Punktspiegelung finden! Also - die Gerade hast du ja verstanden - das ist der Mittelpunkt zwischen A´und A auf der y-Achse sowie für B´B die Gerade habe ich als Hilfslinie eingezeichnet! Dann habe ich auf AB die Mittelsenkrechte gezeichnet, die die Gerade schneidet! Das ist der Punkt für die Punktspiegelung....dadurch finde ich dann das A" und B" liegt auf der Geraden und auf der Geraden (warum? Damit ich dann mit einer Achsenspiegelung hinbekomme,was ich möchte) Wenn du die beiden Punkte hast findest dann auch die Achse zur Achsenspiegelung! Danke Bummerang! - jetzt hab ichs beisammen ;-) - Puh, schwere Geburt! Dann mal weiter mit der Aufgabe ;-) Hast du noch eine logische Begründung,warum es immer die Mitte sein muß ? |
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Ok Bummerang, vielen Dank für deine Hilfe! Einmal mehr ;-) Das mit der Aufgabe checke ich nicht - kann man das nur durch eine Gleichung lösen? Nicht durch eine Konstruktion? Wenn es nur mit Gleichung zu lösen ist, dann werde ich gleich mal mein Buch aufschlagen, ansonsten ist wahrscheinlich auch die Konstruktion erwünscht! Richtig wäre bei so einer Fragestellung aber sicherlich beides! |
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Hallo,
warum das immer die Mitte sein muß? Weil bei einer Spiegelung der Abstand vom Original zum Spiegelpunkt gleich groß ist zum Abstand des Bildpunktes zum Spiegelpunkt! Und wenn gleichweit von A und entfernt ist, dann liegt ganz sicher in der Mitte! |
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Ah ok - und das ergibt sich automatisch, da ja durch die zweite Spiegelung A´ und B´ auf gleicher Höhe liegen, logisch! Danke! |
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Hallo zusammen, kann mir jemand nochmal erklären was man als erstes machen muss nachdem man die punkte eingezeichnet hat. Ich habe das immernoch nicht richtig verstanden. |
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Ich habe nun die Bewertung schon rausgehauen, leider weiß ich aber nicht, wie man die eindeutige Konstruktion hinbekommt von als Drehpunkt! Ich werde noch ein wenig Knobeln,ansonsten gebe ich das jetzt an, wie gezeichnet! Und das ist derzeit noch geraten! Aber vielen Dank für deine Hilfe! Hast uns echt weitergeholfen ;-) |
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- Strecken A´B´ und AB einzeichnen - Hilfsgerade mit eingezeichnet, da Mitte zwischen A und A´ , sowie und B´ genau bei liegt - das gilt dann natürlich auch zwischen A" und A sowie B" und da A" und B" Spiegelung von A´und B´sind - Mittelsenkrechte auf AB gezeichnet schneidet Hilfsgerade im Punkt der Spiegelpunkt ist! - Nun kann man A" und B" mithilfe von einzeichnen - Dann nur noch die Spiegelachse einzeichnen und das wars! So deutlicher? |
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So ich habe die Mittelsenkrechte auf AB gezeichnet und Punkt hat die Koordinaten oder? Wie spiegle ich den jetzt A" und B" ? |
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Richtig Nun, du zeichnest die Geraden durch AP und BP - dann kannst du mit dem Zirkel einen Kreis um durch A (für den gleichen Abstand von A" zu zeichnen und durch ebenfalls um Dadurch erhälst du Schnittpunkte mit den jeweiligen Geraden AP und BP und erhälst die gespiegelten Punkte A" und B" Und A" und B" werden zu A´und B´durch eine Achsenspiegelung gespiegelt! Diese Spiegelachse geht durch die Mittelpunkte von A´A" und B´B"! - Die Spiegelachse zeichnest du natürlich ein, da A´ und B´ ja bereits bekannt und eingezeichnet sind! |
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Ok hab jetzt verstanden. Dankeschööön :-). Schönen Abend noch... |
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Dir auch ;-) |
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Ich gehe gerade noch einmal die Aufgabe durch, dabei habe ich aus versehen die Punkte A und in der Position vertauscht und konnte die Aufgabe mithilfe zweier Achselspiegelungen lösen und bekam auch die Drehung heraus. (Drehwinkel ist ja gleich 2 mal Winkel Nun, kann man die ursprüngliche Aufgabe auch mit zwei Spiegelungen an Spiegelachsen lösen, wenn ja wie. Ist bei folgenden Koordinaten und sowie A´(4;6) und meine Lösung ca. 56° und richtig? (Ich hoffe ihr habt Lösungsprogramme dafür. Aber was mich interessiert ist, ob die ursprüngliche Aufgabe auch mit zwei Spiegelachsen lösbar wäre....schöne Grüße! |
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Da bei Strecken der Drehsinn nicht erkennbar ist, wird es vermutlich keine eindeutige Lösung geben. Eine Möglichkeit, bei der A auf und auf fällt: Strecken bis zum Schnittpunkt verlängern, eine Achse ist die Winkelhalbierende. Die zweite Achse muss orthogonal zu einer der beiden Strecken sein und dafür sorgen, dass beide Strecken in der richtigen Reihenfolge, . mit dem gleichen Punkt näher am Schnittpunkt liegen. Schon hier sieht man, dass es mindestens zwei Lösungen geben muss. |
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Habe diesen Ansatz etwas weiter verfolgt. Eine Achse ist die zweite . Die Reihenfolge ist nicht egal ! |
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Zusammen ergeben sie eine Drehung um mit gerundet °. Für einen exakten Beweis müsstest du zu beiden eine Abbildungsmatrix aufstellen, sie verketten und deine Punkte einsetzen. Vielleicht im Laufe des Tages, wenn sonst nichts anliegt. |
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Hab einen blöden Rechenfehler gemacht. Die 2. Achse heißt |
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Ging doch schneller, als ich dachte. Für die Gerade ergibt sich die Matrix und der Verschiebungsvektor Für die Spiegelung an lautet die Abbildungsgleichung Verkettet ergeben sie tatsächlich die Abbildung A nach und auf |
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Ich danke dir erst einmal vielmals. Ich werde mal schauen, welchen Gedankengang du beim zeichnen hattest, eventuell helfen mir die Gleichungen ja weiter (dadurch die eigezeichneten Achsen versteht sich) - die Verlängerung machte schon ich versuche jetzt mal mit den Tips auf die Lösung zu kommen und nachzuvollziehen, wie sich sowas simpel lösen lässt! Matrix etc. ist alles viel zu viel. Ich habe die Strecken und muß sie an zwei Achsen spiegeln. Ich brauche auch den Verschiebungsvektor nicht ;-) - wobei zwei Achsenspiegelungen eine Drehung sind. Die würde sich bei den gefundenen Achsen dann simpel messen lassen. So, nun an die Arbeit, hoffe ich komme mit deiner Hilfe voran. |
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Ok,mir hat bereits die erste Gleichung geholfen, aber wie komme ich da zeichnerisch drauf? Worauf muss ich achten? Hast du da einen Tipp? Ich muß es ja irgendwie nachvollziehen können und bei anderen Aufgaben anwenden können. Vielen Dank schon mal für die großé Hilfe zur Lösung der Aufgabe. Jetzt habe ich da was stehen und kann noch nichts großartig damit anfangen. Ich denke mal währenddessen weiter darüber nach ;-)! Also ich bin wieder auf dein Ursprungspost zurückgekommen und habe nochmal die Geraden verlängert.... die liegen ja nun bei wie du ja auch schon herausgefunden hattest. Ist es Zufall, dass dort die erste Achse liegt? Wahrscheinlich nicht oder? Also im Endeffekt muss ich verstehen, wie man sowas konstruiert. Hoffe du hast da noch einen Tip, wenn du schon kompliziertere Sachen kannst :-D) |
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Hallo, war ein paar Tage nicht online wegen Anschlusswechsel. Auch jetzt habe ich nur ein etwas langsameres Netbook. Du hast im Profil Student angegeben, danach habe ich die Lösungsstrategie ausgesucht. Der Weg wäre aber . auch für meine Klasse (jetzt machbar. Es geht auch rein geometrisch: die Winkelhalbierende muss eine Spiegelachse sein. Wenn man an ihr spiegelt, fällt AB auf die beidseitige Verlängerung der anderen Strecke, aber die Endpunkte passen nicht. Um dies zu korrigieren, muss das Zwischenbild nach der ersten Spiegelung noch einmal gespiegelt werden, so dass es weiterhin auf der Verlängerung liegt und jetzt die Endpunkte passen. Das ist nur mit einer Spiegelachse senkrecht zur zweiten Strecke möglich. Wo sie eingezeichnet wird ? Natürlich im Mittelwert der Koordinaten von Zwischenbild und Endbild, weil ja gleiche Entfernungen zu ihr sein müssen. Die Matrixrechnung habe ich zur Kontrolle gemacht, da eine Zeichnung nie einen Beweis darstellt. |
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Für die geänderten Koordinaten bei A und ändert sich nichts an der Lösung, nur, dass jetzt A auf und auf fällt. Also: verlängern bis zum Schnittpunkt, Winkelhalbierende eintragen (Gerade . Daran spiegeln. A fällt auf auf . Zweite Spiegelachse durch die Mitte von und senkrecht zu ziehen. |
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Nicht schlimm, ich konnte selber ein paar Tage nicht Online sein. Ok, die Achse ist also eine Winkelhalbierende der beiden Verlängerungen. Das werde ich dann gleich mal bei den anderen ausprobieren. Also wird dies für alle Möglichkeiten gelten, dass dies die gesuchte Achse wäre. Wie ist die genaue Begründung dafür? Wenn dem so ist, wäre das leicht zu merken. Wie wäre dass denn im Fall eines Dreiecks? Da wäre eine Verlängerung sogar bei zwei Seiten möglich. Logischerweise müsste man ja die Seiten nehmen, die sich dann kreuzen würden. Wenn das immer so ist, perfekt. Probiere ich dann gleich nochmal aus, wenn ich A´ und B´ vertausche. Wenn man eine Achse hat ist die andere ja nicht mehr weit ;-). Und vielen Dank schon einmal. (Wobei am Ende ja noch ein Daumen hoch kommen muss ;-) - deine Schüler würden wohl sagen: Gefällt mir ;-)) |
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Bei einem Dreieck käme es zunächst einmal auf den Umlaufsinn an. Regulär wäre ABC linksherum. Ist das bei beiden Dreiecken gleich, dann kommt nur eine Drehung oder Verschiebung in Frage. Beide lassen sich als 2 Achsenspiegelungen auffassen, wobei diese Achsen für eine Verschiebung parallel zueinander und senkrecht zur Verschiebungsrichtung, für eine Drehung sich im Drehpunkt schneidend angeordnet sein müssen. Der Drehwinkel ist dabei doppelt so groß wie der Schnittwinkel. Bei Veränderung des Umlaufsinns im Bilddreieck besteht die Gesamtabbildung aus 3 Achsenspiegelungen. In Sonderfällen kann es auch eine sein, das ist dann aber direkt zu erkennen. 3 ergeben eine sogenannte Schubspiegelung, auch Gleitspiegelung genannt. Sie lässt sich als Kombination aus Verschiebung und Spiegelung darstellen, bei der die Verschiebung in Richtung der Achse läuft, so dass die Reihenfolge Verschiebung und Spiegelung egal ist. In jedem Fall musst du die Verlängerung zweier Seiten betrachten, die Bilder voneinander sind. |
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Die Frage bezieht sich rein aufs zeichnerische.... 3 Achsen können durch eine ersetzt werden.... schneiden sie sich in einem Punkt, so handelt es sich um eine Achse (zwei können durch eine Drehung ersetzt werden) sind drei Parallel, so gibt es ebenfalls eine vierte Achse, die die drei ersetzt (zwei parallele sind eine Verschiebung) die Gleitspiegelung ergibt sich bei drei Achsen, die sich in verschiedenen Punkten schneiden - man kann jeweils zwei Achsen durch zwei andere Achsen ersetzen, indem man sie in ihren Schnittpunkten dreht....(am Ende haben wir die Gleitspiegelung, wie von dir beschrieben...) soweit ist das alles klar - es geht mir hier rein ums zeichnerische finden der Lösungen.... das mit dem Schnittpunkt und der Winkelhalbierenden war da denke ich der richtige Weg zur Lösung meiner Erkennungsprobleme ;-) Aber es ist sicherlich richtig und wichtig auf das von dir hingewiesene zunächst zu achten....danke für die Auffrischung ;-) Die Frage bleibt aber - wie kann ich zeichnerisch die Achsen mit Sicherheit finden, wenn ich weiß, dass es sich . wie hier um eine Drehung handelt . bei zwei Achsenspiegelungen ist es manchmal ja recht einfach, in diesem Fall finde ich dies ganz und gar nicht so. Wie also wäre ich durch Logik in der Zeichnung darauf gekommen. Durch die Aufgabenstellung war aber schon klar, dass es um eine Drehung gehen muß. Ich hatte aber null Ahnung, wie ich diese finde! |
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Wenn die Drehung klar ist, kannst du den Winkel zwischen den Verlängerungen zweier entsprechender Seiten ablesen. Den Mittelpunkt findet man durch die Eigenschaft, dass er jeweils von A und und usw. gleich weit entfernt sein muss, also auf den Mittelsenkrechten von A und BB', und liegen muss. |
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Vielen Dank, das war die gesucht Antwort die ich brauche ;-) - lese mir gerade alle möglichkeiten dazu durch, habe einen guten Text gefunden. Du hast es genau auf den Punkt gebracht und zudem das mit dem Winkel hinzugefügt. Vielen dank noch einmal. Warst eine Hilfe :-D) |
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Da ich nicht nur nehmen möchte, sondern auch geben, fasse ich hier mal zusammen: Erst einmal allgemein zu Spiegelungen, - vier Geradenspiegelungen lassen sich durch zwei Geradenspiegelungen ersetzen. - daraus folgt: man kann 5 Spiegelungen durch 3 ersetzen. - Bei 6 Spiegelungen lassen sich erst einmal 4 durch zwei ersetzen wobei dann wiederum vier übrig bleiben und man diese dann wieder durch zwei ersetzen kann. Wenn 3 Spiegelungen am Ende übrig bleiben ist es eine Gleitspiegelung. Bei 2 Spiegelungen je nach Fall eine Drehung (schneiden sich) oder eine Verschiebung (parallel) Umgekehrt kann man aber natürlich eine Gleitspiegelung durch 3 Spiegelungen ersetzen oder die Drehung durch 2 Spiegelungen. Bei einer hinteinanderausführung wären dass dann 5 Spiegelungen. Nun die Fälle, wenn wir kongruente Dreiecke vorgeben haben. Wenn Dreieck ABC in A´B´C´ überführt wurde - wenn die beiden Dreiecke den gleichen Umlaufsinn haben, dann kann es sich nur um eine Verschiebung oder eine Drehung sein. (Als Spezialfall 180° wäre es eine Punktspiegelung) Nun verbinden wir also A mit A´ und mit B´ (wahlweise auch mit C´) - sind die Verbindungslinien parallel, dann handelt es sich um eine Verschiebung, wenn nicht: Dann ist es eine Drehung um den Mittelpunkt M. muß von allen Punkten den gleichen Abstand haben. Dazu werden die Mittelsenkrechten auf die jeweiligen Verbindungslinien konstruiert. Wobei zwei ausreichen. Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ist der Drehpunkt. (Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten . zu AA´ haben von AA´ den gleichen Abstand). Also ist der Schnittpunkt, der Schnittpunkt der von allen Punkten den gleichen Abstand hat - Also gleicher Abstand von A und A´, gleicher Abstand von und B´ usw...) Will man daraus den Drehwinkel bestimmen, so braucht man jetzt nur noch A und A´ mit zu verbinden und kann den Winkel zwischen den beiden Gerade bestimmen, welcher dann unser Drehpunkt ist. Dabei ist zu achten, dass die Drehung gegen den Uhrzeigersinn durchgeführt wird. Der Drehwinkel ist der doppelte Winkel der beiden Spiegelachsen. Die Punkte A und sowie und A´ als zwischen Konstruktion) liegen natürlich senkrecht auf dieser Achse. (Achsenspiegelung) Hat das Dreieck ABC einen anderen Umlaufsinn als A´B´C´ dann kann es sich nur um eine Geradenspiegelung oder eine Gleitspiegelung handeln. Ob es eine Geradenspiegelung ist lässt sich leicht überprüfen. Die Gerade an der gespiegelt wurde müsste senkrecht durch die Mittelpunkte der Verbindungslinien der jeweiligen Punkte verlaufen. Die Mittelpunkte der Verbindungslinie können aber erhalten bleiben und werden verbunden, es entsteht eine Gerade. An dieser Gerade können wir nun A spiegeln und erhalten . Zeichnen wir nun eine Verbindung zwischen und A´ so haben wir den Schubvektor. Soll heißen. Die Gerade zeigt uns die Richtung der Verschiebung an und die Länge um die wir verschieben. Die Verbindungslinie A*A´ ist parallel zur Spiegelachse . Somit haben wir dann unsere gesuchte Gleitspiegelung. Wenn noch was ungenau oder falsch ist, bitte mitteilen. Ich hoffe ich konnte auch mal was positives beitragen und irgendjemand kann damit irgendwann mal was anfangen ;-) |
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