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Äquivalente Aussagen der absoluten Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: absolute Konvergenz, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

 
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gruetzi

gruetzi aktiv_icon

22:03 Uhr, 12.12.2020

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Die Aquivalenz folgender Aussagen soll bewiesen werden:
a abhaengig von n(n ∈ natuerliche Zahlen) ist eine Folge reeller Zahlen
(1) Die Reihe ∑a n von 1 bis unendlich ist absolut konvergent.
(2) Es existiert eine streng monotone wachsende Folge n abhaengig von k(k ∈ natuerliche Zahlen) mit lim ∑|a abhaengig j| von j=1 bis nk
Ansatz von 1→2: Da an absolut konvergiert, konvergiert auch der Betrag der Reihe.
und da die Reihe konvergiert, existiert ein Grenzwert lim ∑|a n| von 1 bis unendlich.
Zusaetzlich folgt aus der absoluten Konvergenz, dass die Folge wachsend ist aber wieso genau streng monoton?

Einen Ansatz fuer 2→1 hab ich leider nicht

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:14 Uhr, 13.12.2020

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Hallo,

ich verstehe die Aussage (2) nicht, ist sie schon vollständig?

Gruß pwm
gruetzi

gruetzi aktiv_icon

15:59 Uhr, 13.12.2020

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Ja, die Aussauge sollte vollstaendig sein, vielleicht hilft Ihnen das Bild.
(2) Es existiert eine streng monotone wachsende Folge n abhaengig von k(k ∈ natuerliche Zahlen), sodass der Term im Foto existiert.

lim einer Reihe
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:05 Uhr, 13.12.2020

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Wenn man Sn=∑k=1n∣ak∣ definiert, dann ist absolute Konvergenz der Reihe äquivalent zu der Aussage Sn→S für eine Zahl S<∞.

Also musst du nur zeigen: Sn→S<∞ <=> Snk→S<∞ für eine Teilfolge nk.
Die Richtung => ist offensichtlich.
Die Richtung <= folgt daraus, dass Sn monoton steigend ist. Denn wenn ich ein K habe mit ∣Snk-S∣<ε für alle k≥K, dann habe ich ∣Sn-S∣=S-Sn≤S-SnK<ε für alle n≥nK.
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