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Äquivalente Aussagen zu Stetigkeit beweisen

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Tags: aquivalente Aussagen, Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Grenzwert, Sonstig, Stetigkeit

Phil0592 aktiv_icon

20:05 Uhr, 06.07.2018

Guten Abend, Community :-)

Ich stehe vor einem großen Problem, da ich überhaupt nicht weiß, wie ich folgende Aufgabe angehen soll:

Aufgabe

__{_}__{_}__{}

Sei

U \subseteq ℝ

eine Teilmenge, und

f : U \to ℝ

eine Funktion. Sei

a \in U

. zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(1)

f

ist stetig in a

(2)

es gibt ein

ε > 0

derart, dass

f | ((a - ε, a + ε) \cap U) \to ℝ

stetig in a ist.

(3)

\forall ε > 0

ist

f | ((a - ε, a + ε) \cap U) \to ℝ

stetig in a

Habe die Aufgabe auch noch als Bild hochgeladen.

Mein Ansatz

__{_}__{_}__{_}__{_}_

Ich zeige die Äquivalenz der Aussagen mit dem Ringschluss: (1)

\Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)

Ich übersetze die Aussagen aber zuerst in der mathematischen Sprache:

Zu

(1)

f

ist stetig in

a \Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists δ > 0 : \forall x \in U

mit

0 < | x - a | < δ_{ε}

gilt

| f (x) - y | < ε \Leftrightarrow lim_{x \to a} f (x) = y

(2)

Die 2. Aussage habe ich nicht ganz verstanden... Ist sie etwa folgendermaßen gemeint?

\exists ε > 0 : lim_{x \to a} f (x) = y

für

f_{| A} : ((a - ε, a + ε) \cap U) \to ℝ

Zu (3)

\forall ε > 0

gilt:

lim_{x \to a} f (x) = y

für

f_{| A} : ((a - ε, a + ε) \cap U) \to ℝ

Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll... Zumal ich nicht mal die Aussage

(2)

verstehe, weil das

ε

mich verwirrt... Eigentlich taucht dieses

ε

nur bei den Funktionswerten auf...

Aber wie kann ich aus

(1)

folgern, dass auch

(2)

gilt?

Kann mir da jemand helfen? Das wäre echt nett! Ich stehe gerade echt voll auf dem Schlauch...

mfg, Philip

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ledum aktiv_icon

00:39 Uhr, 07.07.2018

Hallo
die erste Aussage sagt nur es gibt ein festes Intervall innerhalb

U

in dem

f

stetig ist. die Zwiete Aussage sagt, die Umgebung darf beliebig klein sein. kommst du damit weiter?
Gruß ledum

Phil0592 aktiv_icon

17:08 Uhr, 07.07.2018

Danke für dein Tipp.

Ich habe versucht dein Tipp beim Beweis zu berücksichtigen. Aber dann meinte einer aus dem 3. Semester, dass mein Beweis falsch wäre. (mein Beweis habe ich unten als Bild hochgeladen).

Nun bin ich etwas verwirrt, weil ich dachte, richtig zu liegen und es verstanden zu haben.

Kannst du mir vielleicht die 1. Implikation zeigen, damit ich ungefähr weiß, wie so ein Beweis geht? Ich weiß echt nicht weiter

\frac{:}{}

Dann hätte ich für den restlichen Beweis eine bessere Intuition dafür...

ledum aktiv_icon

19:46 Uhr, 07.07.2018

Hallo
deine Aussagen zur Stetigkeit sind nicht gut.
1. was ist

y, \in f (x) - y

?
2. natürlich darf

| f (x) - a | = 0

sein, es ist ja eine stückweise konstante Funktion auf dem Stück stetig.
dass

δ > 0

ist, muss man nich erwähnen, da die Aussage dann nur trivial ist.
danach musst du sagen ich wähle

ε < e,

dann ist die fkt nach Vors stetige,

d

h

. der erste Teil gilt.
Gruß ledum

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