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Affinkombination von Punkten in Dreiecken

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angewandte lineare Algebra

Tags: affig, Angewandte Lineare Algebra, Dreieck, Euclid, Fläche, Geometrie, Koeffizient, Sonstig

 
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VA!13

VA!13 aktiv_icon

14:10 Uhr, 17.01.2016

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Hey,
bräuchte bei der Aufgabe ein paar Tipps, bzw. Lösungsansätze

Im ℝ3 bezeichnen wir einen Punkt p als Affinkombination der Punkte q1,....,qn, falls es Koeffizienten λ1,....,λn∈ℝ gibt mit p=λ1q1+...+λn⋅qn und λ1+... +λn=1.

1) Zeige, dass in dieser Situation für jede Bewegung α gilt: α(p)=λ1α(q1)+...+λnα(qn). (Affenkombinationen sind ein geometrischer Begriff der Euklidischen Geometrie)

Nun betrachten wir das Dreieck Δabc in der Zeichenebene. Zeige:
2) Jeder Punkt p der Zeichenebene ist eine Affinkombination der Ecken des Dreiecks. Dabei sind die Koeffizienten der Affinkombination eindeutig bestimmt.
3) Liegt p im Innern des Dreiecks, so sind diese Koeffizienten positiv.
4) Ist p=λaa+λbb+λcc diese Affinkombination und liegt p im Innern des Dreiecks, so gilt folgende Dreiecksflächen-Formel: FΔabp=λcFΔabc

Zu 1): ich bin mir nicht wirklich sicher, was genau hier zu zeigen ist... Soll man zeigen, dass das ganze eine Bewegung ist ??
Zu 2): Kann ich nicht einfach sagen, dass die Punkte a,b und c meine Basis bilden und wenn ich eine Basis habe, dann kann ich ja jeden andern Punkt als Affinkombination dieser Basis darstellen, oder nicht ?
Zu 3): ??
Zu 4): Die Formel für Dreiecksflächen haben wir folgendermaßen definiert: FΔabc=12||b-a||⋅||c-a||⋅sinα=....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:50 Uhr, 18.01.2016

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1. "Soll man zeigen, dass das ganze eine Bewegung ist?"

Das ganze was? Du weißt doch nichts über α, außer dass es eine Bewegung ist.
Dass es eine Bewegung ist, ist also gegeben. Zeigen musst Du, dass α(p) in der Form λ1α(q1)+... darstellbar ist.

2. "Kann ich nicht einfach sagen, dass die Punkte und meine Basis bilden und wenn ich eine Basis habe, dann kann ich ja jeden andern Punkt als Affinkombination dieser Basis darstellen, oder nicht?"

Wenn Du weißt, dass a,b,c eine affine Basis bilden, dann ja.

3. Das innere der Dreiecks ist gleich die konvexe Hülle der Ecken. Und eine konvexe Kombination ist eine affine Kombination mit positiven Koeffizienten.

4. Ich würden den Heron versuchen:
de.wikipedia.org/wiki/Heron-Formel
VA!13

VA!13 aktiv_icon

15:17 Uhr, 19.01.2016

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Erst mal danke für die Tipps!

Also reicht es bei der zwei zu zeigen, dass a,b und c eine affine Basis bilden können ?

Zu 4):
Ich hätte jetzt einfach in die Eingangsgleichung eingesetzt und dann ergibt sich ja: (FΔabp)2=s(s-a)(s-b)(s-p) und (λc⋅FΔabc)2=(λc)2⋅s(s-a)(s-b)(s-c). Hab das ganze quadriert, damit man nicht mit der wurzel rechnen muss, bin mir aber trotzdem noch nicht so ganz sicher, wie ich denn hier jetzt weiter machen soll ?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:47 Uhr, 19.01.2016

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"Also reicht es bei der zwei zu zeigen, dass und eine affine Basis bilden können?"

Was heißt "können"? Sie bilden eine affine Basis.

"Ich hätte jetzt einfach in die Eingangsgleichung eingesetzt und dann ergibt sich ja"

Nicht ganz. s links und s rechts sind verschiedene Größe, daher ist es nicht gut, sie mit einem Buchstaben zu bezeichnen.
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