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Allgemeine Binomialreihe - Identität

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Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Potenzreihe, reih

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19:11 Uhr, 13.09.2021

Wir definieren

ℬ_{t} (z) = \sum_{k \geq 0} (t k)^{\underline{k - 1}} \frac{z^{k}}{k!} .

Nun soll gezeigt werden, dass

ℬ_{t} (z)^{1 - t} - ℬ_{t} (z)^{- t} = z .

Hinweis:

x^{\underline{k}} = \frac{x!}{(x - k)!} .

Ich weiß leider nicht wirklich wie man dieses Problem angeht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

09:13 Uhr, 14.09.2021

Ich würde vorab erstmal eine höchst zweifelhafte, weil wacklige Definition diskutieren wollen:

Anscheinend verwendest du dieses

x^{\underline{k}}

auch für nichtganzzahlige

x

. In dem Sinne ist die Definition mittels Fakultät ziemlich fragwürdig, tatsächlich meinst du anscheinend

x^{\underline{k}} = \frac{Γ (x + 1)}{Γ (x - k + 1)} (*)

.

Für ganzzahlige

k \geq 0

entspricht das

x^{\underline{k}} = \prod_{j = 0}^{k - 1} (x - j) (* *)

,

was für

k = 0

das "leere" Produkt ist mit Wert 1 ist. Außerdem ist dann

\frac{1}{k!} x^{\underline{k}} = (\begin{array}{c} x \\ k \end{array})

im Sinne der allgemeinen Definition des Binomialkoeffizienten.

In deiner Summe hast du für

k = 0

den Term

{(t k)}^{\underline{k - 1}} = 0^{\underline{- 1}}

vorliegen. Konsequenterweise müsstest du gemäß (*) damit dann

\frac{Γ (1)}{Γ (2)} = 1

meinen, während die Produktdarstellung (**) hier nicht greift.

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