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Allgemeine Binomialreihe - Identität

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Tags: Beweis, Potenzreihe, reih

 
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Bolzmann

Bolzmann aktiv_icon

19:11 Uhr, 13.09.2021

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Wir definieren

t(z)=k0(tk)k-1¯zkk!.

Nun soll gezeigt werden, dass

t(z)1-t-t(z)-t=z.

Hinweis:

xk¯=x!(x-k)!.


Ich weiß leider nicht wirklich wie man dieses Problem angeht.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:13 Uhr, 14.09.2021

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Ich würde vorab erstmal eine höchst zweifelhafte, weil wacklige Definition diskutieren wollen:

Anscheinend verwendest du dieses xk¯ auch für nichtganzzahlige x. In dem Sinne ist die Definition mittels Fakultät ziemlich fragwürdig, tatsächlich meinst du anscheinend

xk¯=Γ(x+1)Γ(x-k+1)(*) .

Für ganzzahlige k0 entspricht das xk¯=j=0k-1(x-j)(**) ,

was für k=0 das "leere" Produkt ist mit Wert 1 ist. Außerdem ist dann 1k!xk¯=(xk) im Sinne der allgemeinen Definition des Binomialkoeffizienten.

In deiner Summe hast du für k=0 den Term (tk)k-1¯=0-1¯ vorliegen. Konsequenterweise müsstest du gemäß (*) damit dann Γ(1)Γ(2)=1 meinen, während die Produktdarstellung (**) hier nicht greift.

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