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Alpha, Gamma & Beta berechnen

Schüler

Tags: Vektoren, Winkel

anonymous

16:24 Uhr, 15.03.2013

Hallo,

ich muss hier drei Winkel berechnen (Dreieck).
Die Punkte sind $: A (3 | 1 | - 8); B (4 | 5 | 6); C (- 7 | - 4 | 5)$

Alpha berechnet man mithilfe der Seiten AB ; und AC.
Beta mithilfe der Seiten BA ; BC
$Γ$ mithilfe der Seiten : CB ; CA

Alpha :
AB $= (4 - 3 | 1 - 5 | - 8 - 6) = (1 | - 4 | - 14)$
AC $= (- 7 - 3 | - 4 - 1 | 5 + 8) = (- 10 | - 5 | 13)$

Wie geht es dann weiter ?

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Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

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16:28 Uhr, 15.03.2013

Hallo!

$cos α = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}$

anonymous

16:33 Uhr, 15.03.2013

ist das richtig ?

$cos α = - 0,69$ ?
Kann es - sein ?

anonymous

16:34 Uhr, 15.03.2013

Und die Rechnung gilt auch für $γ$ und $β$ ?

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16:45 Uhr, 15.03.2013

Klar, wenn $α$ ein stumpfer Winkel (also $>$ 90°) ist, wird der Kosinus negativ. Die Beziehung gilt immer für Winkel zwischen zwei Vektoren.

Du kannst ja mal den zweiten Winkel zwischen $\vec{B A}$ und $\vec{B C}$ ausrechnen - und für den dritten gilt dann $γ =$ 180° $- α - β$ .

anonymous

16:52 Uhr, 15.03.2013

ist das richtig ?

Alpha $= - 0,69$
Beta $= 0,29$
$Γ = - 0,61$

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17:04 Uhr, 15.03.2013

Nein!

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 14 \end{matrix})$

$\vec{A C} = (\begin{matrix} - 10 \\ - 5 \\ 13 \end{matrix})$

$\vec{B C} = (\begin{matrix} - 11 \\ - 9 \\ - 1 \end{matrix})$

$cos α = \frac{152}{\sqrt{213} \cdot \sqrt{294}} \approx 0,6074 \Rightarrow α =$ 52,6°

$cos β = \frac{61}{\sqrt{213} \cdot \sqrt{203}} \approx 0,2934 \Rightarrow β =$ 72,9°

$γ =$ 180° - 52,6° - 72,9° = 54,5°