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Analytische Geometrie - Aufgabe

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, Aufgabe, Beweis, Körperberechnung, Normalenform

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21:54 Uhr, 10.01.2011

Hallo,
hab hier ne Aufgabe gelöst. Könntet ihr sie bitte durchschauen und evtl. Verbesserungsvorschläge bringen?

Gegeben sind die Punkte A(12/0/0),B(12/8/6),C(2/8/6),D(2/0/0) und S(7/16/-13).

a)Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
b)Berechnen Sie das Volumen der quadratischen Pyramide mit den Ecken A,B,C,D und S.
c)Bestimmen Sie den Fußpunkt F der Pyramidenhöhe. Berechnen Sie den Abstand der Punkte S und F. Kontrollieren Sie damit den in b) berechneten Abstand.

a)Über die Ortsvektoren der Punkte erhält man die Vektoren

\vec{a} = (\binom{\binom{0}{8}}{6})

\vec{b} = (\binom{\binom{- 10}{0}}{0})

\vec{c} = (\binom{\binom{0}{- 8}}{- 6})

\vec{d} = (\binom{\binom{10}{0}}{0})

.

Damit das Viereck ABCD ein Quadrat ist, muss es 4 gleichlange Seiten haben und alle Innenwinkel müssen 90° betragen. D.H. die Vektoren

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}

müssen alle den gleichen Betrag haben und das Skalarprodukt aller Vektoren muss 0 ergeben. Der Betrag jedes Vektors beträgt 10 LE, mit dem Taschenrechner lässt sich über den Befehl dotP() gut zeigen das die Orthogonalitätsbedingung erfüllt ist.

b)

V = \frac{1}{3} * G * h

Die Grundfläche G lässt sich als Ebene beschreiben: Über das Kreuzprodukt zweier beliebiger Vektoren erhalte ich den Normalenvektor

\vec{n} = (\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

Der Stützvektor ist ein beliebiger Ortsvektor eines Punktes. Somit erhalte ich die Normalenform:

G : [\vec{x} - (\binom{\binom{2}{8}}{6})]

(\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

0

.
Ausmultipliziern führt zu:

G : (\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

\vec{x}

0

Eine Hessesche Normalenform kann also sein:

\frac{1}{100}

(\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

\vec{x}

0

.
Die Höhe h als Abstand des Punktes S von der Ebene G lässt sich nun bequem berechnen indem man Die Koordinaten von S in die linke Seite der HNF einsetzt:

\frac{1}{100}

(\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

(\binom{\binom{7}{16}}{- 13})

20 (L E)

V = \frac{1}{3} * 100 L E^{2} * 20 L E = \frac{2000}{3} L E^{3}

c)Um den Fußpunkt zu bestimmen, ist eine Lotgerade hilfreich:

{\vec{n}}_{G} = {\vec{v}}_{l} = (\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

l ist also:

\vec{x} = (\binom{\binom{7}{16}}{- 13})

t * (\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

Jetzt schneidet man l mit G. Dazu überführt man die vorherige Gleichung von G aus der Normalenform in Kordinatenform:

G : [\vec{x} - (\binom{\binom{2}{8}}{6})]

(\binom{\binom{0}{60}}{- 80})

0

\to

G : 60 x_{2} - 80 x_{3} = 0

Anschließend setzt man die

x_{1}, x_{2}, x_{3}

Werte von l in G ein:

60 (16 + 60 t) - 80 (- 13 - 80 t) = 0

\to

t = - \frac{1}{5}

setzt man t in l ein, so erhält man den Ortsvektor des Fußpunktes:

\vec{f} = (\binom{\binom{7}{4}}{3})

\to

F (7 / 4 / 3)

\vec{S F} = \vec{f} - \vec{s} = (\binom{\binom{0}{- 12}}{- 16})

∣ \vec{S F} ∣ = \sqrt{400} = 20 L E

s.o.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:24 Uhr, 11.01.2011

Lösungswege und Ergebnisse stimmen alle.
Ein paar Anmerkungen:

a)

Nicht das Skalarprodukt ALLER Vektoren muss null ergeben, sondern...

b, c)

Du hättest den Normalenvektor auch kürzen können, wodurch nicht so hohe Zahlen entstanden wären

Corbis aktiv_icon

15:32 Uhr, 11.01.2011

a) ...sondern nur das Skalarprodukt der Vektoren a,b b,c c,d d,a (Da ich ja davon ausgehe das es tatsächlich rechte Winkel sind, ist es ja nicht wichtig, dass ich daruaf achte z.B. das Skalarprodukt von -a und b zu machen, oder?)
b),c) war mir da nicht so ganz sicher - Danke!

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