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Anordnungsaxiome

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Tags: Analysis, Anordnungsaxiome, Ansatz, Beweis

Leibniz

23:11 Uhr, 23.10.2007

Hallo,

ich will zeigen, dass a/b + b/a "größer und/oder gleich" 2 ist, wobei a,b > 0 ist. Ich weiß leider nicht wie ich da anstezen soll. Egal wie ich es drehe oder wende ich kriege irgendwie nichts hin was den Namen "Beweis" verdienen würde. Freue mich über jede Hilfeestellung. Am liebsten wäre es mir nicht direkt die Lösung präsentiert zu bekommen sondern mehr einen Denkansatz...

Danke für jegliche Mühe im Voraus!

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Sams83 aktiv_icon

00:44 Uhr, 24.10.2007

Hallo!

Tipp: Auf einen Bruchstrich bringen

und binomische Formeln kann man immer gebrauchen :o)

reicht das schon als kleiner Denkansatz?

Leibniz

12:23 Uhr, 24.10.2007

Hallo sams83,

Vielen Dank für deine Antwort!

ich habe mal folgendes probiert:

Zu zeigen: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ mit $a, b > 0$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} \geq 2 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \Leftrightarrow {(a - b)}^{2} \geq 0$

Das reicht aber als Beweis irgendwie wohl nicht aus. Oder? Mir geht es vorallem um die prinzipielle Herangehensweise um was zu beweisen und an zweiter Linie um das richtige Aufschreiben also um das Formale...

Danke nochmals für die Mühe.

Sams83 aktiv_icon

13:20 Uhr, 24.10.2007

Hmmm...z.B. kann man einen Beweis führen, indem man von irgendeiner Voraussetzung ausgeht und dann soweit Äquivalenzumformungen macht, bis das gewünschte Ergebnis herauskommt.

In deinem Fall also umgekehrt vorgehen:

Vorraussetzung: a,b größer 0

Es gilt:

(a-b)² größergleich 0

a²-2ab+b² größergleich 0

a² + b² größergleich 2ab

(von diesem auf den nächsten Schritt tritt übrigens die Voraussetzung in Kraft, wäre entweder a oder b kleiner als 0, müsstest du das größer-kleiner-Zeichen umdrehen)

a²+b²/ab größergleich 2

a/b + b/a größergleich 2

Damit ist die Aussage bewiesen, da nur Äquivalenzumformungen stattgefunden haben und man von einem bekannten richtigen Sachverhalt ausgegangen ist.

Eine andere Beweismethode wäre der indirekte Beweis, da geht man von der entgegengesetzten Aussage aus, die man beweisen will und schaut dann zu, dass man einen Widerspruch hinbekommt, also so:

Annahme: Es gibt ein a, b größer 0, so dass

a/b + b/a kleiner 2

Und dann genauso umformen wie du oben gemacht hast, nur eben immer mit kleiner-Zeichen, schließlich kommst du auf:

(a-b)² kleiner 0

-> Widerspruch, da eine Quadratzahl immer größer oder gleich 0 ist.

-> Annahme ist falsch

-> Für alle a,b größer 0 gilt a/b + b/a größer 2

So, das müsste als Beweis bei deinem Tutor/Prof durchgehen...

ff-freak aktiv_icon

13:21 Uhr, 24.10.2007

Hallo Leibniz!

Das, was Sams83 gesagt hat war schon richtig =). Du hast es nur falsch angewendet. Ich saß echt lange an der Aufgabe und war kurz vorm verzweifeln, aber Sams83 gab den rettenden Denkanstoß ;) (thx). Also hier mein Lösungsvorschlag.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

Erweitern auf beiden Seiten:

$\frac{a * a}{b * a} + \frac{b * b}{a * b} \geq 2$

Zusammenfassen:

$\frac{a² + b²}{a b} \geq 2$

Quadratische Ergänzung:

$\frac{a² - 2 a b + b² + 2 a b}{a b} \geq 2$

$\frac{(a - b) ² + 2 a b}{a b} \geq 2$

$\frac{(a - b) ²}{a b} + \frac{2 a b}{a b} \geq 2$

$\frac{(a - b) ²}{a b} + 2 \geq 2$

der Ausdruck (a-b)² ist dank des Quadrats stets positiv. Der Ausdruck ab ist für positive a und b oder negative a und b auch stets positiv. Das heißt, dass der linke Ausdruck auch immer positiv ist, wenn a und b unterschiedlich und Elemente aus R+ sind.

Ist a größer als b gilt:

$\frac{(a - b) ²}{a b}$

$\frac{c²}{d}$

Ist a kleiner als b gilt:

$\frac{(a - b) ²}{a b}$

$\frac{(- c) ²}{d}$

$\frac{c²}{d}$

Ist a gleich b oder b gleich a gilt:

$\frac{(a - a) ²}{a * a} = \frac{0}{a²} = 0$

$\frac{(b - b) ²}{b * b} = \frac{0}{b²} = 0$

Das heißt, dass wen a und b Elemente aus R+ / {0} und unterschiedlich sind, der Term stets größer als 2 ist. Sind a und b gleich, so ist der Term gleich 2.

Hoffe ich konnte dir helfen =).

greetings

ff-freak

Edit: Da war wohl jemand ein Minütchen schneller als ich. So könnte man es auch machen, ich hatte mich jetzt für die Variante entschieden =).

Leibniz

20:03 Uhr, 24.10.2007

Vielen lieben Dank euch beiden! Das hat mir sehr geholfen.

@ Sams83: Das heißt ich suche mir irgendwas aus, was wahr ist und forme es so oft um bis ich das erhalte was ich zeigen will? Und die Voraussetzungen sagen mir sozusagen was ich voraussetzen darf?

Ich finde es immer wieder faszinierend, wie leicht solche Beweise aussehen, nach dem sie jemand zu Papier gebracht hat. Aber alleine darauf zu kommen ist echt nicht ohne...

Ich fand vorallem den Widerspruchsbeweis sehr ansprechend. Ich glaube zum ersten Mal wirkich verstanden zu haben wie ein Widerspruchsbeweis funktioniert.

Kann man den immer anwenden?

@ ff-freak: Dein Beweis war auch nicht schlecht, danke. Ich musste mich ersteinmal erinnern was eine quadratische Ergänzung ist. ^^

Eine Anmerkung: Hätte man sich das "Testen" für ein negatives a oder b nicht sparen können, da ja per Voraussetzung a und b positiv sind?

Ich habe mich mal an einen anderen Beweis selber versucht. Vielleicht kann mir einer von euch beiden bei Gelegenheit sagen über der richtig ist, wenn jemand mag. =)

Falls x eine irrationale Zahl ist und a,b,c,d rationale Zahlen sind mit ad ungleich bc, so ist

z:= (ax+b)/(cx+d) irrational.

Also Beweis mit Widerspruch (den fand ich so toll^^):

Ich nehme an z sei rational. Dann ist

$z = \frac{a x + b}{c x + d} \Leftrightarrow z = \frac{a x}{c x + d} + \frac{b}{c x + d} \Leftrightarrow z (c x + d) = a x + b \Leftrightarrow z c x + z d = a x + b \Leftrightarrow z c x + z d - a x = b \Leftrightarrow x (z c - a) + z d = b \Leftrightarrow z c - a = \frac{b - z d}{x} \Leftrightarrow x = \frac{b - z d}{z c - a}$

Daraus müsste dann folgen, dass x eine rationale Zahl ist, was unserer Annahme widersprechen würde, stimmts?

Ich fürchte nur ich habe mich irgendwo verrechnet, denn ich vermute, das sowas wie $x = \frac{z d - b}{z c - a}$ herauskommen müsste...

Lieben Gruß

Leibniz

ff-freak aktiv_icon

20:10 Uhr, 24.10.2007

hallo Leibniz! =)

Also ich denke, dein Beweis ist so richtig. Ich für meinen Teil hab zumindest keine Fehler gefunden. Und ja, ich hätte das mit den Nachweisen von positiv und negativ weglassen können.

greets

ff-freak

Leibniz

20:14 Uhr, 24.10.2007

Trotz der "falschen Anordnung" am Ende des Beweises? Lieben Dank für deine Mühe - das mit dem überflüssigen Testen der negativen as und bs war kein Vorwurf sondern nur für mich eine Verständnisbestätigung. =) Fühle mich schon viel schlauer. :D

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