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Anwendung Differentialrechnung

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentialfunktion, Normal

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23:04 Uhr, 11.02.2012

Hallo zusammen,
ich zweifle an meiner Rechnung bezüglich folgender Aufgabe:
geg.: Exponentialfkt.

f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{0,5 x}

Wendepunkte:

W 1 (- 6; 48 e^{3}) W 2 (0; 0)

ges.: Wo schneidet die Kurvennormale im Wendepunkt

W 1

die Kurvennormale im Wendepunkt

W 2

?
Ansatz:

- 1

. Ableitung bilden, Anstiege im jeweiligen Wendepunkt ermitteln
Anstieg der Normalen mittels Bedingung der Orthogonalität , Bestimmung des absoluten Gliedes durch Einsetzen der Wendepunkte in y=mx+n
Ergebnisse:

W 1 : y = - \frac{1}{10 e^{3}} x - 9,66

W 2 : y = 0,5 x

Schnittpunkt durch Gleichsetzen der Normalengleichungen:

S (- 19,12; - 0,02)

Ist dieses Ergebnis richtig?
Desweiteren soll bewiesen werden, dass alle (n-te) Ableitungen von

f

die Form f(x)=(ax^2+bx+c)e^(0,5x) haben. Wie kann ich dieses Problem angehen?
Vielen Dank für Eure/Ihre Mühen und ein erholsames Rest-Wochenende:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

PhysMaddin aktiv_icon

23:43 Uhr, 11.02.2012

Hallo,

zu

1 .)

habe ich nicht nachgerechnet, der Lösungsweg ist aber imho richtig.

zu

2 .)

Benutze die vollständige Induktion

Behauptung fn(x)=

(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{0,5 x}

f 1 (x) = 0,5 \cdot (x^{2} - 2 x) \cdot e^{0,5 x} + (2 x - 2) \cdot e^{0,5 x} = (0,5 \cdot x^{2} + x - 2) \cdot e^{0,5 x}

mit

a = 0,5, b = 1

und

c = - 2

stimmt

fn(x)=

(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{0,5 x}

fn+1(x)=

0,5 \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{0,5 x} + (2 \cdot a \cdot x + b) \cdot e^{0,5 x} = (u \cdot x^{2} + v \cdot x + w) \cdot e^{0,5 x}

mit

u = 0,5 \cdot a, w = 0,5 \cdot b + 2 \cdot a, w = 0,5 \cdot c + b

Damit ist das bewiesen.

ableitung aktiv_icon

14:16 Uhr, 12.02.2012

Vielen Dank für die schnelle und gute Hilfe.

Nun ist die Stammfunktion von

f (x)

gesucht, was meines Erachtens nur per partieller Integration geht. Leider wurde mir dieses Verfahren nicht gelehrt und ist nur anhand einer kurzen Beschreibung im Buch schwer nachvollziehbar. Wenn jemand eine ausführliche Darstellung des Rechenweges einstellen könnte, würde mir das sehr helfen (auch wenn es nicht der richtige Weg zum Wissen ist).

Beste Grüße :-)

PhysMaddin aktiv_icon

16:44 Uhr, 12.02.2012

partielle Integration:

\int

f´(x)

\cdot g (x) d x = f (x) \cdot g (x) - \int f (x) \cdot

g´(x)

d x

Setze f´(x)

= e^{0,5 x}

und

g (x) = x^{2} - 2 \cdot x

\int e^{0,5 x} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x) = 2 \cdot e^{0,5 x} - \int e^{0,5 x} \cdot (2 x - 2)

= 2 \cdot e^{0,5 x} - 2 \cdot \int e^{0,5 x} - \int e^{0,5 x} \cdot 2 x

jetzt genauso

\int e^{0,5 x} \cdot 2 x

ausrechnen und oben einsetzen :-)

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