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Anwendung Majorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

sven1992 aktiv_icon

12:47 Uhr, 21.05.2015

Hey,

ich hab eine Frage zur einer Aufgabe, in der ich das Majorantenkriterium benutzen will.

Die Aufgabe lautet:

Zeigen sie die Konvergenz/Divergenz folgender Reihe

\sum \frac{1}{\sqrt{n (n + 1) (n + 2)}}

n = 1

\infty

Ich vermute das es Konvergent ist und verwende deswegen das Majorantenkriterium.

0 \leq | a_{n} | \leq b_{n}

| a_{n} | = | \frac{1}{\sqrt{n (n + 1) (n + 2)}} | = | \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n}} | \leq | \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2}}} | \leq | \frac{1}{\sqrt{n^{3}}} | = | \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} |

| \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} | \to

konvergiert und deswegen konvergiert auch

a_{n}

?
Kann ich das so machen? Solange den Bruch größer machen, bis ich einen Ausdruck finde, bei dem ich weiß, ob es konvergiert oder divergiert?

Grüße Sven

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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anonymous

13:00 Uhr, 21.05.2015

Hallo
Ich ahne, was du meinst und möchte dich bestärken: Ja, grundsätzlich ahnt man aus dem Geschriebenen, dass sich daraus eine gültige Argumentation ableiten ließe.
An den Formalien musst du aber noch arbeiten.
In anderen Worten: versuche mal mathematisch eindeutig niederzuschreiben

>

was ist die Majorante,

>

Welches Kriterium wendest du darüber hinaus noch an,

>

Wie lautet das Schlussargument...

sven1992 aktiv_icon

13:22 Uhr, 21.05.2015

Ok, ich versuch es mal.

z . Z

\sum \frac{1}{\sqrt{n (n + 1) (n + 2)}}

n = 1

\infty

ist Konvergent.

Beweis mit Hilfe des Majorantenkriterium:

Seien

\sum a_{n}

und

\sum b_{n}

zwei Reihen.

Gilt

0 \leq | a_{n} | \leq b_{n}

ab einem

n_{0},

und ist die Majorate

b_{n}

konvergent, so konvergiert

\sum a_{n}

absolut.

\to

Die Folge

| a_{n} | = \frac{1}{\sqrt{n (n + 1) (n + 2)}} = \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n}}

muss nach oben durch eine Folge

b_{n}

abgeschätzt werden.

Suche nach Majorante:

0 \leq \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^{3}}} = \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}}

Sei

\frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2}}} = \sum b_{n}

und

\frac{1}{\sqrt{n^{3}}} = \sum c_{n}

Wenn

\sum c_{n}

konvergiert, dann auch

\sum b_{n},

dann wiederum konvergiert auch

\sum a_{n}

\frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \to

konvergiert. (Kann man das einfach hinschreiben,weil das in einem Buch steht, ohne weitere Erklärung)

\to

Die Majorante von

\frac{1}{\sqrt{n^{3} + 3 n^{2}}}

ist

\frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \to

deswegen konvergiert die Reihe

\sum b_{n}

\to

Die Majorante von

\sum a_{n}

ist

\sum b_{n}

. Da

b_{n}

konvergiert

\to

Es folgt nach dem Majorantenkriterium die absolute Konvergenz der Reihe

\sum a_{n}

abakus

13:36 Uhr, 21.05.2015

Hallo,
ob deine Variante akzeptiert wird hängt entscheidend davon ab, ob bereits die Konvergenz der Reihe von

\frac{1}{n^{α}}

für jedes

α > 1

(und somit auch für deinen Wert 1,5) nachgewiesen wurde.

sven1992 aktiv_icon

13:46 Uhr, 21.05.2015

Unten ist ein Screenshot aus unserem Skript.
Kann ich das also so behaupten, wie ich es hingeschrieben habe?

abakus

13:59 Uhr, 21.05.2015

Die Skript mach keine Aussage über Exponenten zwischen 1 und 2.

sven1992 aktiv_icon

14:11 Uhr, 21.05.2015

Also muss ich das noch zusätzlich nachweisen, so dass es für alle

a > 1

gilt?

ledum aktiv_icon

01:03 Uhr, 22.05.2015

Hallo
ja, musst du wenigsten eben für eponenten

1,5

Gruß ledum

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