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Anwendung des lokalen Umkehrsatzes

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration, Sonstig, Stetigkeit

Isaaabellll aktiv_icon

18:18 Uhr, 16.05.2018

Hallo,

wie kann ich mithilfe des Umkehrsatzes folgendes zeigen:

Sei

I := [- \frac{3}{2} π, \frac{3}{2} π)

und sei

φ : I \to R^{2}

gegeben durch

φ (s) = (- 1, s + \frac{π}{2})

falls

s < - \frac{π}{2}

φ (s) = (sin s, cos s),

falls

s \geq - \frac{π}{2}

a)

Zeige, dass

φ

stetig ist und I bijektiv auf

φ (I)

abbildet

b)

Zeige, dass die Umkehrfunktion

φ^{- 1} : φ (I) \to I

NICHT stetig ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Isaaabellll aktiv_icon

21:07 Uhr, 16.05.2018

kann niemand helfen.
Ist der Umkehrsatz vielleicht die falsche Anwendung?

PhysikIzGut aktiv_icon

22:47 Uhr, 16.05.2018

Aus dem Umkehrsatz kann man die Stetigkeit und Bijektivität von

φ

nicht zeigen. Das muss erstmal ohne diesen gezeigt werden, da stetigkeit und Injektivität vorallem Voraussetzungen für den Umkehrsatz sind.
Aber mit dem Umkehrsatz kann dann die b) gezeigt werden.

Die Stetigkeit würde ich so zeigen, dass die Limes beider Teile der Funktion gegen

- \frac{π}{2}

gleich sind. Die Bijektivität folgt dann aus der Stetigkeit und Injektivität, wobei die Injekvitität standardmäßig gezeigt werden muss (f(u) = u = f(u')

\to

u=u').
Mit der Existenz der Umkehrfunktion kann dann sicherlich irgendwie ihre Unstetigkeit (bevorzugt wieder mit der Stelle

- \frac{π}{2}

) gezeigt werden, indem man ausrechnet, dass die beiden Limes dort nicht übereinstimmen.

pwmeyer aktiv_icon

09:06 Uhr, 17.05.2018

Hallo,

eine Abbildung

φ : I \to ℝ^{2}

ist ja die Parametrisierung einer Kurve. Wenn Du Dir diese Kurve skizzierst, wird sofort alles klar.

Gruß pwm

Isaaabellll aktiv_icon

11:16 Uhr, 17.05.2018

warum folgt die Bijektivität aus Stetigkeit und Injektivität?

pwmeyer aktiv_icon

12:12 Uhr, 17.05.2018

Surjektivität ist hier trivial aufgrund der Aufgabenstellung.

Isaaabellll aktiv_icon

12:55 Uhr, 17.05.2018

Wie würde die Umkehrabbildung aussehen ?

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