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Archimedische Spirale
Universität / Fachhochschule
Grenzwerte
Tags: Archimedische Spirale, Geometrische Reihe, Grenzwert
 
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Hi, ich hab eine Frage zur archimedischen Spirale. Die Angabe lautet etwa folgendermaßen: Die Spirale beginnt bei A (im Ursprung) und dann wird immer ein Halbkreis mit dem Durchmesser d angelegt (mal oben mal unten, so dass halt die Spirale entsteht). Der Durchmesser beträgt immer 4/5 vom vorigen Halbkreis und begonnen wird mit 10 cm. Wie weit ist der Endpunkt vom Ausgangspunkt entfernt?
Ich hätte die Entfernung von A mit einer alternierenden Reihe beschrieben: und aus dieser den Grenzwert berechnet. Allerdings hätte ich das Beispiel für eine Nachhilfe aus dem Gymnasium rechnen sollen, die mir erklärte, dass sie den Grenzwert nur für einfache Bruchterme können und schon gar nicht für eine alternierende Reihe. Hab ich hier einen Denkfehler?? Stimmt meine Rechnung nicht? bzw. wie kann ich das anders machen? Vielen Dank!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hi Zuerst mal wäre es interessant zu wissen, ob mit Abstand der direkte Abstand oder der Weg entlang der Spirale gemeint ist. Warum muss die Reihe eigentlich alternierend sein? Für den Abstand ist das Vorzeichen doch egal. Soll der Endpunkt beliebig wählbar sein oder ist er vorgegeben? Vlt sollen sie mit dieser Aufgabe an ein "neues" Thema herangeführt werden!? Wie wäre es eigentlich mit einer Summendarstellung? Könnte das lösbar sein? Viele Fragen und (bisher) wenig Antworten. Vlt fällt mir noch was ein. Grüße |
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Hm, also prinzipiell sehe ich das genauso wie du... Vielleicht sollte man erst einmal das Ergebnis der ten-Partialsumme berechnen (das dann durch Induktion über beweisen). Das wird dann wohl doch ein Bruchterm sein, von dem man den Grenzwert ausrechnen kann... ...aber ehrlich gesagt, weiß ich nicht, ob das nicht etwas zu krass ist für eine Gymnasiumsaufgabe :-) |
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Ach so, und sollte die Folge nicht lauten: ? |
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Also hier wäre ein Bild von dem Beispiel, so wie ich es meine: de.academic.ru/pictures/dewiki/76/Logarithmic_spiral.png (wo das Koordinatensystem liegt ist ja dann egal)
Alternierend hätte ich die Reihe deshalb angelegt, weil man sich ja mit dem ersten Halbkreis von A entfernt, mit dem zweiten wieder näher kommt, mit dem ersten wieder weiter weg springt, usw. Zu der Frage bezüglich des Weges: es ist der direkte Weg gemeint, den langen könnt ich mir ja berechnen mit der Summe der Folgeglieder einer normalen geometrischen Reihe. Also Induktion ist definitiv zu heftig. ^^ Um ein neues Thema geht es sicher nicht, da es sich um eine Maturavorbereitung handelt - da sollte eigentlich schon alles klar sein. ;) Der Endpunkt ist übrigens auch nicht beliebig wählbar, wie oben gefragt, sondern ergibt sich durch die unendliche Reihe der Halbkreise. Vielleicht hat ja noch jemand Ideen? Das Beispiel stammt aus einem Mathe-Buch und sollte eigentlich schon mit eher einfachen Mitteln lösbar sein... |
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Warum sollte der direkte Weg nicht auch über eine geometrische Reihe berechenbar sein? . Mit der alternierenden Reihe hast du natürlich Recht. Damit ergibt sich für die Summendarstellung: Das lässt sich in einen Bruch "umwandeln". Von diesem kann dann der Grenzwert bestimmt werden. Und das könnte dem geforderten Niveau entsprechen. |
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Das wäre eben auch mein Ansatz gewesen aber sie haben nur Limiten folgender Art durch gemacht: (Sind auch die einzigen, die im Buch in dem das Beispiel ist erklärt sind.) Es muss doch einen einfacheren Weg geben!? ^^ |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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