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Asymptotik der Binomialverteilung

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Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Folgen und Reihen, Grenzwert

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10:44 Uhr, 12.03.2014

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage bezüglich der Asymptotik von Binomialkoeffizienten.

Und zwar habe ich eine Menge von Zufallsvariable

X (t),

die binomialverteilt ist mit

t

Wiederholungen und Wahrscheinlichkeit

p,

also Bin(t,p).

Ich habe im Weiteren zwei Parameter

r

und

n

mit

r < \infty

und

n \to \infty

.

Weiter haben wir

n^{- 1} < p < n^{- \frac{1}{r}}

sowie

t^{'} := {(\frac{(r - 1)!}{n \cdot p^{r}})}^{\frac{1}{r - 1}}

Wir definieren

π (t) := P [X (t) \geq r] = \sum_{k = r}^{t} (\begin{matrix} t \\ k \end{matrix}) p^{k} {(1 - p)}^{t - k}

.

Nun stelle ich mir die folgenden Fragen.

1)

Wie sieht man, dass

t^{'} \to \infty

für

n \to \infty

2)

Ich bin daran interessiert, wie sich

π (t^{'})

asymptotisch verhält. In meinen Unterlagen heisst es, dass

π (t^{'}) ~ \frac{p \cdot t^{'}}{r!}

. Wie komme ich darauf?

3)

Weiter heisst es in einem leicht anderen Kontext, dass

P [X (t) \leq r - 1] ~ P [X (n) = r - 1]

und ich weiss wieder nicht, wie man darauf kommt und auch nicht, was eigentlich dieses Zeichen ~ genau bedeutet.

4)

Wieder in einem anderen Kontext heisst es, dass

π (t) = t^{r} \cdot \frac{p^{r}}{r!} \cdot (1 + O (p \cdot t + t^{- 1}))

. Wie kommt man auf diese Abschätzung?

Ich habe im Internet aofa.cs.princeton.edu/40asymptotic verschiedene asymptotische Expansionen gefunden, habe aber nicht gesehen, wie mir das hier direkt hilft. Ich studiere nicht Mathematik, hatte also nur eine kurze Grundausbildung in Analysis und kaum etwas mit Grenzwerten gerechnet bis jetzt und auch nur eine kurze Einführung in Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wäre froh, wenn ihr mir hier helfen könntet, mit der Definition, was ~ genau bedeutet, welche Expansion man wählen muss, um auf die entsprechende Asymptotik zu kommen (ich habe sogar versucht, die Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung zu approximieren, aber auch das hat mir nicht wirklich weiter geholfen).

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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