Aufgaben zu Spirale (Länge, Abstand)

Durch aneinanderkleben von Halbkreisen (wobei jeder Durchmesser des voherigen Durchmessers 3/5 beträgt) entsteht eine Spirale. Der erste Durchmesser beträgt 4cm.

(Skizze angefügt)

Wie lang ist die Spirale?

Wie weit sind Anfangs- und Endpunkt voneinander entfernt?

Ist die Spirale nicht unendlich lang?

Also mit diesem Verständnis kann ich leider keine der Aufgaben lösen.

Danke für Hilfe.

Geht ${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{1}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ in die richtige Richtung?

Ah ne habs gerade gemerkt..

Obwohl der Radius verändert sich ja..

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 2\cdot \frac{3}{10}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

So vielleicht?

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{3}{10}\Rightarrow {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \frac{3}{10}}$

oder?

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0+1}={\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\cdot \frac{3}{10} \\ {\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}={\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \frac{3}{10}} \end{gathered}$$

Und wie bestimmt man jetzt die Reihe konkret?

Aber wir sprechen doch vom Radius, der halbiert sich doch oder nicht? Dh r=2 und das Verhältnis 3/5/2. In der Aufgabe ist die Rede vom Durchmesser.

Damit habe ich ja nur angefangen wegen der Formel für den Kreisbogen.

Damn.. auch so, ich stell mich heut aber auch an.

${\displaystyle \frac{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{3}{5}\Rightarrow {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \frac{3}{5}}$

${\displaystyle {\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}={\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \frac{3}{5}}$

${\displaystyle {\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=2}$

Gut, jetzt gib mir mal einen Ansatz für die Reihe bitte^^

Sorry bin im Stress. Also:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{2\cdot 3^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{5^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$

Bitte guck mal rüber und sag obs stimmt.

Dh nach der geometrischen Reihe konvergiert unsere Reihe gegen ${\displaystyle 5\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, was auch die gesuchte Länge ist.

Ich denke komischweise immer daran das Ding aufzuspannen..

Vielen Dank für die Unterstützung. Ich habe es mittlerweile herausbekommen.