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Aus Opas Unterlagen: Abituraufgabe 1975

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Funktion, Grenzwert

babara aktiv_icon

16:12 Uhr, 17.09.2017

Hallo,
das war die erste von 3 Aufgaben im Abi

1975

an einem Bochumer Gymnasium.

Weisen Sie die Identität der Funktionen

f : ℝ^{+} \to ℝ, x \to e^{x}

und

g : ℝ^{+} \to ℝ, x \to lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{x}{n})}^{n}

nach und folgen Sie dabei folgender Anleitung.

a)

Beweisen Sie für alle

a > 0

die Ungleichungskette

\frac{a}{1 + a} \leq ln (1 + a) \leq a

.
Hinweis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf

L : x \to ln (1 + x)

anwenden.

b)

Ersetzen Sie a durch

\frac{x}{n},

multiplizieren Sie die Ungleichung mit

n \in ℕ

und beachten Sie eine Funktionalgleichung der Funktion L.

c)

Ersetzen Sie nun jedes Glied der Ungleichungskette durch den ihm durch die Funktion

x \to e^{x}

zugeordneten Funktionswert und begründen Sie, dass diese Ersetzung eine Äquivalenzumformung der Ungleichungskette ist.

d)

Beweisen Sie nun folgenden Satz:
Gilt für die Folgen

(a_{n}), (c_{n})

und

(b_{n})

ab einem gewissen

k

für alle

n > k

die Ungleichungskette

a_{n} < c_{n} < b_{n}

und konvergieren

(a_{n})

und

(b_{n})

gegen denselben Grenzwert, so konvergiert auch

(c_{n})

gegen diesen Grenzwert.

e)

Bearbeiten Sie jetzt die gestellte Aufgabe.

Mit

a)

komme ich schon nicht klar. Wer kann helfen?

b)

ist dann einfach:

\frac{\frac{x}{n}}{1 + \frac{x}{n}} \leq ln (1 + \frac{x}{n}) \leq \frac{x}{n} \Leftrightarrow \frac{x}{1 + \frac{x}{n}} \leq n \cdot ln (1 + \frac{x}{n}) \leq x

\Leftrightarrow \frac{x}{1 + \frac{x}{n}} \leq n \cdot ln (1 + \frac{x}{n}) \leq x

\Leftrightarrow \frac{x}{1 + \frac{x}{n}} \leq {ln (1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq x

Was soll in

c)

genau gemacht werden ??

Bis hier bin ich gekommen.

Barbara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
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michaL aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.09.2017

Hallo,

der Trick(!) liegt in der Erkenntnis, dass

L ʺ (x) = - {(\frac{1}{1 + x})}^{2} < 0

gilt, woraus ja

L ʹ (l) \geq L ʹ (r)

für

l < r

folgt (Graph

_{L}

ist rechtsgekrümmt).

Damit erhältst du aus dem Mittelwertsatz, dass

\frac{1}{1 + a} = L ʹ (a) \leq L ʹ (ξ) \overset{MWS}{=} \frac{L (a) - L (0)}{a - 0} \leq L ʹ (0) = 1

.

Tja, und dann verwendest du, dass

L (0) = 0

ist, multiplizierst die Ungleichungskette mit

a

(

= a - 0

) und fertig.

Irgend eine Eigenleistung muss ja in den Aufgaben stecken.

Mfg Michael

pwmeyer aktiv_icon

09:41 Uhr, 18.09.2017

Hallo,

sollte man nicht vor jedem Beitrag zu dieser Frage ehrfürchtig das Niveau der Abitur-Fragen im Jahr

1975

würdigen?

Viele Grüße
pwm

oculus aktiv_icon

12:38 Uhr, 18.09.2017

Hallo Barbara,

L (x) := ln (1 + x)

ist auf

] - 1, \infty [

definiert und dort auch differenzierbar mit

L' (x) = \frac{1}{1 + x}

. Somit gilt im Intervall

[0, a] \subset] - 1, \infty [

der Mittelwertsatz:
Es gibt danach wenigstens ein

ξ \in] 0, a [,

so dass

L' (ξ) = \frac{L (a) - L (0)}{a - 0} \Leftrightarrow \frac{1}{1 + ξ} = \frac{ln (1 + a)}{a}

Wegen

0 < ξ < a \Rightarrow 1 < 1 + ξ < 1 + a

erhält man daraus äquivalent die Ungleichung der Kehrwerte

1 > \frac{1}{1 + ξ} > \frac{1}{1 + a} \Leftrightarrow 1 > \frac{ln (1 + a)}{a} > \frac{1}{1 + a} \Leftrightarrow \frac{1}{1 + a} < \frac{ln (1 + a)}{a} < 1

was nach Multiplikation mit

a > 0

die gewünschte Ungleichung liefert.
(Für mich stellt sich die Frage, weshalb in der Aufgabe das

\leq -

Zeichen steht.)

Gruß von
oculus

ermanus aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.09.2017

Hallo,
als 68-er Opa lehne ich mich natürlich gegen den Hinweis
des Aufgabenstellers ("einer von denen da oben !") auf.
Spaßeshalber hier ein "intuitiver" Weg, die Ungleichungskette zu beweisen:
Wir betrachten die folgenden Differenzfunktionen

d_{1}, d_{2} : [0, \infty) \to ℝ

d_{1} (a) = \ln (1 + a) - \frac{a}{1 + a}

und

d_{2} (a) = a - \ln (1 + a) .

1. Es ist

d_{1} (0) = d_{2} (0) = 0

.
2.

d_{1}^{ʹ} (a) = \frac{1}{1 + a} - \frac{1}{(1 + a)^{2}} \geq 0

für

a \geq 0

und

d_{2}^{ʹ} (a) = 1 - \frac{1}{1 + a} \geq 0

für

a \geq 0

d_{1}

und

d_{2}

sind also monoton wachsend. Das reicht zum Beweis ;-)

Gruß ermanus

babara aktiv_icon

17:45 Uhr, 18.09.2017

Danke für die Antworten, die ich mir noch genauer anschauen will.
Deine Bemerkung, Erasmus, über den Hinweis des Aufgabenstellers ("einer von denen da oben") habe ich nicht verstanden. Wo steht der Hinweis? Bei mir doch nicht?

Ich habe mich inzwischen mit Teil

c)

der Aufgabe befasst. Man erhält nach der gegebenen Anleitung aus der letzten Ungleichung offenbar dann die Ungleichung

e^{\frac{x}{1 + \frac{x}{n}}} \leq {(1 + \frac{x}{n})}^{n} \leq e^{x}

.

Wieso soll das aber eine äquivalente Umformung sein ?

Und bei Aufgabenteil

d)

frage ich mich, was bei dieser evidenten Behauptung eigentlich bewiesen werden soll.

Ihre Anwendung bringt dann wegen

lim_{n \to \infty} e^{\frac{x}{1 + \frac{x}{n}}} = e^{lim_{n \to \infty} (\frac{x}{1 + \frac{x}{n}})} = e^{x}

die Lösung der Aufgabe.

Barbara

ermanus aktiv_icon

17:53 Uhr, 18.09.2017

In den 68-ern hat man als Student oder aufmüpfiger Weltverbesserer
die über einem stehenden Personen, z.B. die Regierung oder auch hin und wieder
die Dozenten "die da oben genannt". Ein Aufgabensteller ist dann natürlich grundsätzlich
"einer da oben" ;-)
Es handelt sich um einen gesellschaftspolitischen Spaß :-), der ein bisschen die
68-er Bewegung verulken will.

Der Hinweis des Aufgabenstellers war:
"Hinweis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf ... anwenden."
Den habe ich eben mal absichtlich ignoriert. Oculus hat ihn aber korrekt benutzt,
vermutlich so, wie der Aufgabensteller (das bist ja nicht du, sondern die Person,
die dem Opa damals die Aufgabe gestellt hat, z.B. ein Gremium der Schulbehörde),
ihn gemeint hatte.

ermanus aktiv_icon

18:37 Uhr, 18.09.2017

Mit "äquivalenter Umformung" ist gemeint, dass

x \to e^{x}

eine streng monotone
(also Injektive) Funktion ist
und daher

a \leq b \overset{}{\Leftrightarrow} e^{a} \leq e^{b}

gilt (habe dies im Nachherein editiert).
Über d) solltest du genauer nachdenken. Gesucht ist ein formaler Beweis.
Es reicht nicht es für selbstverständlich zu halten ;-)
Du wirst hier sicher mit irgendwelchen Abschätzungen hantieren müssen.

babara aktiv_icon

10:41 Uhr, 19.09.2017

Danke erasmus für die Antworten.

Wenn der Satz im Teil

d)

der Aufgabe zu "beweisen" ist, reicht nicht der Hinweis, dass sowohl die

a_{n}

als auch die

b_{n}

mit wachsendem

n

dem gemeinsamen Grenzwert immer näher kommen. Da die

c_{n}

"ab dem gewissen k" zwischen

a_{n}

und

b_{n}

liegen, gilt das auch für die

c_{n}

. Aber ist das nicht trivial?

Barbara

ermanus aktiv_icon

11:54 Uhr, 19.09.2017

Ja, "gefühlsmäßig" gebe ich dir Recht.
Der Aufgabensteller möchte aber garantiert einen Beweis z.B. mit

ε

und

N_{ε}

.
Hier findest du einen:

de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Sandwichsatz,_Einschn%C3%BCrungssatz,_Einschlie%C3%9Fungssatz

gruß ermanus

P.S.: der link wird leider zerhackt. Du musst ihn als Gesamtes markieren, kopieren
und in das Adressfeld deines Browsers einfügen :(

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