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Ausgleichsgerade mit Methode der kleinst. Quadrate

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Tags: Ableiten, Angewandte Lineare Algebra, Differentiation, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Lineare Unabhängigkeit, Methode der kleinsten Quadrate, Partielle Ableitung, Sonstig

Maxi-1997 aktiv_icon

13:20 Uhr, 02.06.2018

Hey, Leute! Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate die Ausgleichsgerade durch die folgenden
Punkte im

ℝ^{2} : (0, 2), (3, 8), (4, 9), (1, 5)

Ich habe es folgendermaßen versucht zu lösen, doch am Ende kommt eine merkwürdige Gerade heraus, bei der ich nicht zu überprüfen weiß, ob sie richtig ist...

Mein Ansatz:

__{_}__{_}__{_}__{_}

Gegeben:

P_{1} : (0,2), P_{2} : (3,8), P_{3} : (4,9), P_{4} : (1,5)

also

x : 0,3,4,1

y : 2,8,9,5

Zu Bestimmen:

Eine Gerade so bestimmen, dass die Summe der quadratischen Abweichungen minimal wird.

Also, das Minimum von

Q (a, b) = \sum_{k = 1}^{m} (a \cdot x_{k} + b

−

y_{k})^{2}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{4} (a \cdot x_{k} + b

−

y_{k})^{2} = {(0 \cdot a + b - 2)}^{2} + {(3 \cdot a + b - 8)}^{2} + {(4 \cdot a + b - 9)}^{2} + {(1 \cdot a + b - 5)}^{2}

Wir leiten nur partiell nach den Variablen a und

b

ab.

Ableitung mit Kettenregel nach

a :

\frac{δ f}{δ a} = \sum_{k = 1}^{4} (a \cdot x_{k} + b

−

y_{k})^{2} = 2 \cdot (0 \cdot a + b - 2) \cdot 0 + 2 \cdot (3 a + b - 8) \cdot 3 + 2 \cdot (4 a + b - 9) \cdot 4

+ 2 \cdot (a + b - 5) \cdot 1 = 0 + (18 a + 6 b - 48) + (32 a + 8 b - 72) + (2 a + 2 b - 10) = 52 a + 16 b - 130

Ableitung mit Kettenregel nach

b :

\frac{δ f}{δ b} = \sum_{k = 1}^{4} (a \cdot x_{k} + b

−

y_{k})^{2} = 2 + (0 \cdot a + b - 2) \cdot 1 + 2 \cdot (3 a + b - 8) \cdot 1 + 2 \cdot (4 a + b - 9) \cdot 1

+ 2 \cdot (a + b - 5) \cdot 1 = (2 b - 4) + (6 a + 2 b - 16) + (8 a + 2 b - 18) + (2 a + 2 b - 10)

= 16 a + 8 b - 48

Nun muss man das LGS lösen:

(I) : 52 a + 16 b - 130 = 0

(I I) : 16 a + 8 b - 48 = 0

\Leftrightarrow

(I) : 52 a + 16 b = 130

(I I) : 16 a + 8 b = 48

\Rightarrow a = \frac{17}{10}

und

b = \frac{13}{5}

Die Ausgleichsgerade lautet also

y = \frac{17}{10} x + \frac{13}{5}

Stimmt die Gerade überhaupt???

Ich hoffe, jemand kann mir helfen.

Mit freundlichen Grüßen
Maxi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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anonymous

14:25 Uhr, 02.06.2018

Wieso denn merkwürdig? Die Gerade ist richtig.

Roman-22

15:47 Uhr, 02.06.2018

Wie zombe schon geschrieben hat - dein Ergebnis ist richtig und keineswegs merkwürdig.
Die Gerade passt doch ziemlich gut zu den vier Angabepunkten.
Außerdem kannst du doch jederzeit dein Ergebnis überprüfen lassen. Sogar Excel beherrscht die lineare Regression und auch kostenlose Mathe-Programme wie Geogebra werden das schaffen.

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