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Hallo liebe Leute!
Ich habe mal wieder eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht so richtig die Ansatzpunkte finde.
Die Aufgabenstellung: Sei Hom(K^m,K^n) sowie . Für sei
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
Es ist rg(A) Im(f) Hat nur die triviale Lösung, dann ist rg(A) Ist rg(A) dann hat nur die triviale Lösung
Hinweis: Benutzen Sie für und den Homomorphiesatz
Bis jetzt sind mir folgende Dinge dazu eingefallen:
zu Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht, was ich da überhaupt machen soll.
zu Diese Aussage ist mir an sich relativ klar. Der Rang gibt ja die Anzahl der linear Unabhängigen Spalten (bzw Zeilen) an, welche ja wiederum ein Erzeugendensystem sind, das einen Raum aufspannt, der einen Dimension hat, der eben dieser Anzahl entspricht. Das müsste ich jetzt noch irgendwie formalisieren.
zu Dies bedeutet anders formuliert: Der Kern enthält nur die 0 bzw den Nullvektor. Somit ist die Dimension des Kerns ja Null, woraus mit Hilfe der Dimensionsformel folgt, dass die Dimension des Bildes der des Ausgangsraumes entspricht. So gesehen kann ich die Aussage logisch nachvollziehen, aber nicht mathematisch, formal greifen.
zu Ist die "Gegenrichtung" zu und mir an sich auch klar.
Ich wäre euch also sehr dankbar, falls ihr mir für die Beweise ein wenig "Starthilfe" geben könntet.
Schon mal ganz vielen Dank!
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Hallo, kannst du deine Fragestellung noch mal genauestens dahingehend überprüfen, wo ein und wo ein steht. Mir scheint da manches sehr fraglich ;-)
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Ohh, ja du hast Recht. Es heißt richtig: sei ∈ Hom . Außerdem sind und die jeweiligen Standardbasen des bzw
Ich hoffe, dass es nun passt :-)
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Kann mir wirklich keiner helfen? Es würde mich wirklich sehr freuen, wenn sich jemand fände, der mir auch nur einen (kleinen) Tipp geben könnte!
Schon mal Danke im voraus!
LG
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ledum
23:10 Uhr, 16.10.2017
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Hallo ich weiss nicht was ihr mit bezeichnet, ? ich denke am einfachsten ist es alles mit den Bildern der Basisvektoren zu machen. für und was sagt denn der Homomorphisatz? Gruß ledum
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Ja genau, bezeichnet, A⋅x für alle .
Aussage erscheint mir so trivial, dass ich nicht weiß, was ich da überhaupt noch beweisen soll...
Die Quintessenz des Homomorphiesatzes, sowie das wesentliche für diese Aufgabe, ist meines Erachtens, dass /Ker(f) isomorph zum Bild(f) ist.
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Hallo,
Du schreibst: "Ja genau, bezeichnet, A⋅x für alle ."
Das kommt mir merkwürdig vor: In die Definition von in der Aufgabenstellung gehen doch die Basen und ein, davon hängt also A ab, dann kann doch nicht sein?
Gruß pwm
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und sind die jeweiligen Standardbasen. Von daher müsste das doch gelten, oder nicht?
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Ok, dann ist wirklich eher trivial.
Da einzige, was man aus meiner Sicht dann noch dazu sagen könnte, ist: Aus der Definition von A folg: für alle Basis-Elemente, also
Gruß pwm
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So habe ich es auch gemacht! :-) Danke für die Hilfe von euch!
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