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Aussagen zum Homomorphiesatz zeigen

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Tags: Beweis, Homomorphismus, Vektorraum

 
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LaLiLuLinsky

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13:01 Uhr, 14.10.2017

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Hallo liebe Leute!

Ich habe mal wieder eine Aufgabe vor mir, bei der ich nicht so richtig die Ansatzpunkte finde.

Die Aufgabenstellung: Sei f Hom(K^m,K^n) sowie A=MCB(f). Für bKm sei
f-({b})=

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Es ist f=fA
b) rg(A) =dim Im(f)
c) Hat f(x)=0 nur die triviale Lösung, dann ist rg(A) =n
d) Ist rg(A) =n, dann hat f(x) nur die triviale Lösung

Hinweis: Benutzen Sie für c) und d) den Homomorphiesatz

Bis jetzt sind mir folgende Dinge dazu eingefallen:

zu a) Hier weiß ich ehrlich gesagt nicht, was ich da überhaupt machen soll.

zu b) Diese Aussage ist mir an sich relativ klar. Der Rang gibt ja die Anzahl der linear Unabhängigen Spalten (bzw Zeilen) an, welche ja wiederum ein Erzeugendensystem sind, das einen Raum aufspannt, der einen Dimension hat, der eben dieser Anzahl entspricht. Das müsste ich jetzt noch irgendwie formalisieren.

zu c) Dies bedeutet anders formuliert: Der Kern enthält nur die 0 bzw den Nullvektor. Somit ist die Dimension des Kerns ja Null, woraus mit Hilfe der Dimensionsformel folgt, dass die Dimension des Bildes der des Ausgangsraumes entspricht. So gesehen kann ich die Aussage logisch nachvollziehen, aber nicht mathematisch, formal greifen.

zu d) Ist die "Gegenrichtung" zu c und mir an sich auch klar.

Ich wäre euch also sehr dankbar, falls ihr mir für die Beweise ein wenig "Starthilfe" geben könntet.

Schon mal ganz vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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16:25 Uhr, 15.10.2017

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Hallo,
kannst du deine Fragestellung noch mal genauestens dahingehend überprüfen,
wo ein m und wo ein n steht. Mir scheint da manches sehr fraglich ;-)

LaLiLuLinsky

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16:41 Uhr, 15.10.2017

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Ohh, ja du hast Recht. Es heißt richtig: sei f ∈ Hom (Kn,Km)...
Außerdem sind B und C die jeweiligen Standardbasen des Kn bzw Km

Ich hoffe, dass es nun passt :-)

LaLiLuLinsky

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19:15 Uhr, 16.10.2017

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Kann mir wirklich keiner helfen?
Es würde mich wirklich sehr freuen, wenn sich jemand fände, der mir auch nur einen (kleinen) Tipp geben könnte!

Schon mal Danke im voraus!

LG
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ledum

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23:10 Uhr, 16.10.2017

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Hallo
ich weiss nicht was ihr mit fA bezeichnet, Ax,xKm?
ich denke am einfachsten ist es alles mit den Bildern der Basisvektoren zu machen. für c und d) was sagt denn der Homomorphisatz?
Gruß ledum
LaLiLuLinsky

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11:16 Uhr, 18.10.2017

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Ja genau, fA bezeichnet, A⋅x für alle x.

Aussage a) erscheint mir so trivial, dass ich nicht weiß, was ich da überhaupt noch beweisen soll...

Die Quintessenz des Homomorphiesatzes, sowie das wesentliche für diese Aufgabe, ist meines Erachtens, dass Kn /Ker(f) isomorph zum Bild(f) ist.


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pwmeyer

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11:33 Uhr, 18.10.2017

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Hallo,

Du schreibst: "Ja genau, fA bezeichnet, A⋅x für alle x."

Das kommt mir merkwürdig vor: In die Definition von A in der Aufgabenstellung gehen doch die Basen B und C ein, davon hängt also A ab, dann kann doch nicht f(x)=Ax sein?

Gruß pwm
LaLiLuLinsky

LaLiLuLinsky aktiv_icon

11:36 Uhr, 18.10.2017

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B und C sind die jeweiligen Standardbasen. Von daher müsste das doch gelten, oder nicht?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

09:32 Uhr, 19.10.2017

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Ok, dann ist a) wirklich eher trivial.

Da einzige, was man aus meiner Sicht dann noch dazu sagen könnte, ist: Aus der Definition von A folg: f(ei)=Aei für alle Basis-Elemente, also f=fA

Gruß pwm
Frage beantwortet
LaLiLuLinsky

LaLiLuLinsky aktiv_icon

17:03 Uhr, 21.10.2017

Antworten
So habe ich es auch gemacht! :-)
Danke für die Hilfe von euch!