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Beliebig oft differenzierbar

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration, Sonstig, Stetigkeit

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

16:12 Uhr, 16.05.2018

Antworten
Hallo,

wie kann ich folgendes zeigen:

Sei φC(R) eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass
φ(-1)=1 und φ(t)=0 für alle t0.
Solch eine Funktion ist beispielsweise gegeben durch

φ(t)=exp(1t+1) falls t<0
φ(t)=0, falls t0

Für λR definieren wir φλ:RR durch
φλ(s)=φ(-1+φ(min(1-s,0)λ)

Zeigen Sie, dass φλ für jedes λR beliebig oft differenzierbar ist und bestimmen Sie den Träger von φλ in Abhängigkeit von λ.

ich bin für jeden Vorschlag, Tipp, etc. enorm dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
korbinian

korbinian aktiv_icon

16:52 Uhr, 16.05.2018

Antworten
hallo,
ist dir die Funktion φ aus der Vorlesung bekannt und weißt du, dass sie beliebig oft diff.-bar ist?
gruß
korbinian
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.05.2018

Antworten
Nein φ ist nicht aus der Vorlesung bekannt.
Antwort
korbinian

korbinian aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.05.2018

Antworten
Hallo,
schade; dann haben wir etwas mehr Arbeit vor uns.
Zeige zuerst φ ist beliebig oft diff.-bar mit φ(n)(0)=0.
Zeige dazu durch vollständige Induktion nach n: Zu jedem n gibt es ei Polynom pn so dass gilt:
φ(n)(t)=pn(1t)e1+1t für t<0
φ(n)(t)=0 sonst
gruß
korbinian
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

21:38 Uhr, 17.05.2018

Antworten
Wie kommst du auf das Polynom?
Genauer auf Pn(1t)..
ich habe nun per Induktion gezeigt, dass φ beliebig oft diffabr ist mit
φn(t)=Pn(1t)exp(1+1t)

wie geht es nun weiter?
Antwort
korbinian

korbinian aktiv_icon

00:33 Uhr, 18.05.2018

Antworten
Hallo,

ich fürchte bis jetzt hast du nur gezeigt, dass φ für t<0 diff.-bar ist. Für t>0 ist es trivial. Bleibt zu zeigen auch für t=0.
Hier bleibt uns nichts anderes übrig, als auf die Definition zurück zu greifen.
Wie´s dann weiter geht, hängt davon ab, wie φλ definiert ist. Bei dir ist entweder ein φ zuviel oder eine Klammer zu wenig oder...?
gruß
korbinian
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