Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beliebig oft differenzierbar

Beliebig oft differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Grenzwerte

Integration

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration, Sonstig, Stetigkeit

Isaaabellll aktiv_icon

16:12 Uhr, 16.05.2018

Hallo,

wie kann ich folgendes zeigen:

Sei

φ \in C^{\infty} (R)

eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass

φ (- 1) = 1

und

φ (t) = 0

für alle

t \geq 0

.
Solch eine Funktion ist beispielsweise gegeben durch

φ (t) = e x p (\frac{1}{t} + 1)

falls

t < 0

φ (t) = 0,

falls

t \geq 0

Für

λ \in R

definieren wir

φ_{λ} : R \to R

durch

φ_{λ} (s) = φ (- 1 + φ (min (1 - s,0) \cdot λ)

Zeigen Sie, dass

φ_{λ}

für jedes

λ \in R

beliebig oft differenzierbar ist und bestimmen Sie den Träger von

φ_{λ}

in Abhängigkeit von

λ

.

ich bin für jeden Vorschlag, Tipp, etc. enorm dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

korbinian aktiv_icon

16:52 Uhr, 16.05.2018

hallo,
ist dir die Funktion

φ

aus der Vorlesung bekannt und weißt du, dass sie beliebig oft diff.-bar ist?
gruß
korbinian

Isaaabellll aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.05.2018

Nein

φ

ist nicht aus der Vorlesung bekannt.

korbinian aktiv_icon

18:24 Uhr, 16.05.2018

Hallo,
schade; dann haben wir etwas mehr Arbeit vor uns.
Zeige zuerst

φ

ist beliebig oft diff.-bar mit

φ^{(n)} (0) = 0

.
Zeige dazu durch vollständige Induktion nach n: Zu jedem

n \in ℕ

gibt es ei Polynom

p_{n}

so dass gilt:

φ^{(n)} (t) = p_{n} (\frac{1}{t}) e^{1 + \frac{1}{t}}

für

t < 0

φ^{(n)} (t) = 0

sonst
gruß
korbinian

Isaaabellll aktiv_icon

21:38 Uhr, 17.05.2018

Wie kommst du auf das Polynom?
Genauer auf

P_{n} (\frac{1}{t}) .

.
ich habe nun per Induktion gezeigt, dass

φ

beliebig oft diffabr ist mit

φ^{n} (t) = P_{n} (\frac{1}{t}) e x p (1 + \frac{1}{t})

wie geht es nun weiter?

korbinian aktiv_icon

00:33 Uhr, 18.05.2018

Hallo,

ich fürchte bis jetzt hast du nur gezeigt, dass

φ

für t<0 diff.-bar ist. Für t>0 ist es trivial. Bleibt zu zeigen auch für t=0.
Hier bleibt uns nichts anderes übrig, als auf die Definition zurück zu greifen.
Wie´s dann weiter geht, hängt davon ab, wie

φ_{λ}

definiert ist. Bei dir ist entweder ein

φ

zuviel oder eine Klammer zu wenig oder...?
gruß
korbinian

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1427070

1426808

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?