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Berechnung Grenzwert, Verwendung von Cauchyprodukt

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Produkt, Folgen und Reihen, Grenzwert

lukasde aktiv_icon

15:19 Uhr, 09.05.2018

Hallo,

ich soll unter Verwendung des Cauchy-Produkts folgender Reihen

\sum_{k = 0}^{\infty} k * q^{k} * \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k}

Den Grenzwert der Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} * q^{k} f ü r ∣ q ∣ < 1

berechnen.

Meine Vorgehensweise ist folgende:

\sum_{k = 0}^{\infty} k * q^{k} * \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} k * q^{k} * q^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} k * q^{n}

q^{n}

nicht von k abhängig ist, folgt:

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) * q^{n} \sum_{k = 0}^{n} k

\sum_{k = 0}^{n} k

kann mann nun auch als

\frac{(n + 1) * n}{2}

schreiben und schließlich kommme ich dann auf:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 1)^{2} * n}{2} * q^{n}

Jetzt komme ich allerdings bei dem Schritt nicht weiter um von

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 1)^{2} * n}{2} * q^{n}

bzw.

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{3} * n}{2} * n^{2} * q^{n}

auf den Grenzwert von

\sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} * q^{k}

zu kommen.

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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15:31 Uhr, 09.05.2018

(\sum_{k = 0}^{\infty} k q^{k}) (\sum_{k = 0}^{\infty} k q^{k}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} k q^{k} q^{n - k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 1}^{n} k q^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} q^{n} \sum_{k = 1}^{n} k = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2} + n}{2} q^{n}

.

So,

(\sum_{k = 0}^{\infty} k q^{k}) (\sum_{k = 0}^{\infty} k q^{k}) = 0.5 \sum_{n = 0}^{\infty} k^{2} q^{k} + 0.5 \sum_{n = 0}^{\infty} k q^{k}

lukasde aktiv_icon

15:59 Uhr, 09.05.2018

Danke für deine Antwort, aber ich soll das Cauchy-Produkt von

\sum_{k = 0}^{\infty} k * q^{k} * \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k}

verwenden anstatt

\sum_{k = 0}^{\infty} k * q^{k} * \sum_{k = 0}^{\infty} k * q^{k}

so wie du es verwendest hast.

DrBoogie aktiv_icon

16:14 Uhr, 10.05.2018

Ne, ich habe es richtig gemacht, nur am Anfang falsch aufgeschrieben.
Du sollst doch sehen, dass danach in Wirklichkeit das Produkt

(\sum k q^{k}) (\sum q^{k})

berechnet wird.

lukasde aktiv_icon

16:31 Uhr, 10.05.2018

Ok stimmt jetzt sehe ichs. Allerdings kannst du doch nicht einfach

q^{n}

aus

\sum_{0}^{n} q^{n}

herausziehen ohne

q^{n}

mit (n+1) zu multiplizieren.

Damit hab ich ja am Ende dann

0.5 * \sum_{n = 0}^{\infty} n^{3} q^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} q^{n} + 0.5 * \sum_{n = 0}^{\infty} n q^{n}

Und hier stört mich ja dann wieder das

n^{3}

DrBoogie aktiv_icon

16:47 Uhr, 10.05.2018

"Allerdings kannst du doch nicht einfach"

Sorry, aber was ich mache ist schon richtig, Du kannst mir glauben.
Denk darüber nach, dann findest Du Deinen Fehler.

lukasde aktiv_icon

16:54 Uhr, 10.05.2018

Ich glaube jetzt hab ichs verstanden.

q^{n}

ist hier wie ein konstanter Faktor, weshalb man ihn dann vor die Summe schreiben kann, oder?

DrBoogie aktiv_icon

16:59 Uhr, 10.05.2018

Ja, genau richtig. :-)

lukasde aktiv_icon

17:00 Uhr, 10.05.2018

Ok super. Vielen Dank für die Hilfe :-)

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