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Berechnung des inneren Radius'

Schüler Kolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Kreis, Radius

Nightdragon aktiv_icon

14:57 Uhr, 15.01.2010

Hallo,

dank euch lief die Überprüfung heute super. Danke nochmal.
Jetzt zur nächsten Frage:

Ein Kreisring soll 7,07cm² groß sein. Der äußere Radius beträgt 2,5cm. Wie groß ist der innere?

$B)$ Ein kreis hat einen Durchmesser von0cm. Es soll ein kreisring hergestellt werden, dessen Flächeninhalt nur halb so groß ist wie der des gegebenen Kreises. Wie groß musss der innere Durchmesser sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

16:33 Uhr, 15.01.2010

$A = π (r_{a}^{2} - r_{i}^{2})$
Dir sind $A = 7,07 c m^{2}$ und $r_{a} = 2,5 c m$ gegeben, also kannst du $r_{i}$ berechnen.

$b)$ Kreis mit einem Durchmesser von $0 c m$ ?

Nightdragon aktiv_icon

14:52 Uhr, 16.01.2010

$a)$ Also eigentlich so: 7,07cm²= $π \cdot ({2,5}^{2} - r_{i}^{2})$ und dann die klammer auflösen?
$b)$ 10cm

Shipwater aktiv_icon

15:08 Uhr, 16.01.2010

$a)$ Ja, aber entscheide dich die Einheiten entweder mitzuschreiben oder nicht. Nicht einmal so und einmal so.
$b)$ Ein Kreis mit einem Durchmesser von $10 c m$ hat die Fläche $25 c m^{2} \cdot π$ . Die Fläche des Kreisrings soll also $12,5 c m^{2} \cdot π$ sein. Und äußerer Radius ist der selbe wie der vom Ursprungskreis also $5 c m$ . Daher ähnelt das hier der ersten Aufgabe.

Nightdragon aktiv_icon

20:07 Uhr, 16.01.2010

Was kommt denn bei $a)$ raus.
Mein lösungsweg:

$7,07 = π \cdot ({2,5}^{2} - x^{2})$
$7,07 = 6,25 \cdot π - x^{2} \cdot π | - 7,07; + π \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot π = 19,63 - 7,07 \frac{|}{π}$
$x^{2} = \frac{12,56}{π}$
$x^{2} = 4 (3,997) | \sqrt{}$
$x = 2 (1,999)$

Und wie gehts dann weiter? setzte ich das in die ursprünglcihe Gleichung ein kommt kein $7,07$ raus!

Bamamike aktiv_icon

20:32 Uhr, 16.01.2010

$7.06858$ kann doch wohl als $7.07$ durchgehen, oder?
Oder Du musst mit den genauen Werten rechnen:
$x = 1.9998873$

Nightdragon aktiv_icon

20:50 Uhr, 16.01.2010

Alles klar, stimmt doch. Hatte am ENde noch einen Rechenfehler bei der Probe $%)$ .

JEtzt noch eine Aufgabe bitte:

Eine Laufbahn der Länge $400 m$ aus zwei einander gegenüberliegenden Strecken und zwei Halbkreisbögen. Welche Länge müssen die Strecken haben, damit das in der Mitte eingeschlossene Spielfeld möglichst groß ist?

Mit dieserr Aufgabe komme ich überhaupt nicht zurecht, weil ich garnicht weiß,was ich machen muss. Kann mir hier noch jemand helfen?

Shipwater aktiv_icon

21:04 Uhr, 16.01.2010

$400 = π \cdot d + 2 a \Leftrightarrow a = 200 - \frac{π}{2} \cdot d$
Maximal werden soll $A = d \cdot a = d \cdot (200 - \frac{π}{2} \cdot d) = 200 d - \frac{π}{2} d^{2}$
Ob ihr das nun mit ableiten oder der Scheitelpunktsform löst weis ich nicht.

Nightdragon aktiv_icon

21:27 Uhr, 16.01.2010

den zweiten Teil verstehe ich nicht.

Nightdragon aktiv_icon

21:37 Uhr, 16.01.2010

das habe ich jetzt auch verstanden.
Was meinst du mit ABleiten und Scheitelpunktsform. Die Unbekannte ausrechnen, richtig?
Mach einfahc mal vor dann kann ich dir vllt sagen, welchen Weg wir können.

Shipwater aktiv_icon

21:50 Uhr, 16.01.2010

"Mach einfahc mal vor dann kann ich dir vllt sagen, welchen Weg wir können."

Nene vergiss es. Du musst den Hochpunkt der Funktion berechnen. Das geht eben über das Ableiten oder über die Scheitelpunktsform.

Nightdragon aktiv_icon

21:59 Uhr, 16.01.2010

Scheitelpunktsformen hatten wir schon. Kann es sein, dass $a 100$ ist? Ich hab mich jetzt mal selbst dran begeben:

$x =$ Fläche des Spielfelds

$x = - (\frac{π}{2}) d^{2} + 200 d$

am Ende kam dann daraus bei mir: $x = - \frac{π}{2} \cdot {(d + \frac{\sqrt{400 d}}{\sqrt{2 \cdot π}})}^{2} + 100$

Shipwater aktiv_icon

12:40 Uhr, 17.01.2010

$a = 100$ hört sich auf jeden Fall mal gut an.

Nightdragon aktiv_icon

13:35 Uhr, 17.01.2010

wow geil. Hät ich nicht gedacht, dass ich das hinbekomme.
Kann man $d$ auch noch ausrechnen?

Shipwater aktiv_icon

14:07 Uhr, 17.01.2010

$a = 200 - \frac{π}{2} \cdot d$

Nightdragon aktiv_icon

14:26 Uhr, 17.01.2010

also lautet das Ergebnis so:
$a = 100 m$
$d = 63,66 m$