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Berechnung von Umfang und Flächeninhalt von Kreis

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Umfang

Flächeninhalt

Tags: Flächeninhalt, Kreis, Umfang

Mirabelia aktiv_icon

15:30 Uhr, 20.09.2010

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist eine "pilzförmige" Figur einbeschrieben.

a)

bestimme den Umfang des Pilzes in Abhängigkeit von

a

b)

Zeige: der Stiel und die Kappe haben den gleichen Flächeninhalt.

\to U = \frac{1}{4} \cdot 2 a \cdot π + 2 (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot π) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot π + a \cdot π = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 2 π = a \cdot π

\to A

(Kappe)

= \frac{1}{2} a^{2} \cdot π - 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot {(\frac{a}{2})}^{2} \cdot π) = \frac{1}{4} a^{2} π - \frac{a^{2}}{2} 2 π

A (Stiel)

= 2 \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot π) - \frac{g \cdot h}{2}

Stimmt das so?

Danke schon mal für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Flächenmessung
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Photon aktiv_icon

15:50 Uhr, 20.09.2010

Zum Umfang: Bis auf die allerletzte Umformung ist alles perfekt

\frac{1}{2} a \cdot π + a \cdot π

ergibt

\frac{3}{2} a \cdot π

Mirabelia aktiv_icon

15:59 Uhr, 20.09.2010

Okay dankeschön! :-)

Photon aktiv_icon

16:05 Uhr, 20.09.2010

Ich muss dazusagen, dass ich mir die Flächenberechnung nicht angeschaut hab, könnte also sein, dass da was nicht stimmt. Wofür stehen denn

g

und

h

in der letzten Formel?

m-at-he

16:22 Uhr, 20.09.2010

Hallo,

der Umfang ist ja einfach, es ist ein Viertelkreis mit Radius

r

und 2 Halbkreise mit Radius

\frac{r}{2}

. Das ergibt:

\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot a + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot π \cdot \frac{a}{2}) = \frac{1}{2} \cdot π \cdot a + π \cdot a = \frac{3}{2} \cdot π \cdot a

Da hattest Du Probleme beim Zusammenfassen!

Bei der Fläche ist ja nicht die genaue Fläche gesucht, sondern es ist nur zu zeigen, daß die Flächen gleich groß sind. Dazu würde ich als Hilfsgeraden die Diagonalen einzeichnen. Seien die Diagonalen mit

e

(links unten nach rechts oben) und

f

(links oben nach rechts unten) bezeichnet. Die Fläche links oberhalb von

e

entspricht der Fläche oben links oberhalb von

f

und die Fläche rechts unterhalb von

e

der Fläche unten rechts oberhalb von

f

. Man muß also "nur" zeigen, daß die Fläche zwischen

f

und dem großen Viertelkreis doppelt so groß ist, wie die Fläche des Stiels.

Dazu benutzen wir die Formeln für die Fäche eines Kreissegments (siehe de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment

) : A = \frac{r^{2}}{2} \cdot (α - sin (α))

Für den Stiel

(r = \frac{a}{2}

und

α = \frac{π}{2})

ergibt sich:

A_{S} = 2 \cdot \frac{{(\frac{a}{2})}^{2}}{2} \cdot (\frac{π}{2} - sin (\frac{π}{2})) = \frac{a^{2}}{4} \cdot (\frac{π}{2} - 1)

Für den Pilzkopf

(r = a

und

α = \frac{π}{2})

zusammen mit den beiden Flächen, die den Stielhälften entsprechen, ergibt sich:

A_{K} = \frac{a^{2}}{2} \cdot (\frac{π}{2} - sin (\frac{π}{2})) = \frac{a^{2}}{2} \cdot (\frac{π}{2} - 1) = 2 \cdot \frac{a^{2}}{4} \cdot (\frac{π}{2} - 1) = 2 \cdot A_{S}

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