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Berührpunkte und Gleichungen der Tangenten an einem Kreis, die paralell zur geraden sind
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Berührpunkt, Binom, Frage, Gleichungen, Kreis, paralell, Tangente
 
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Morgen Leute, ist eigentlich sonst gar nicht meinte Art, in irgendeinem Forum um Hilfe zu bitten, aber wir schreiben am Freitag unsere erste Mathe Klausur (JgSt. 11) und ich habe leider keine Ahnung, wie das alles geht... Hätte hier folgende relevante Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Berührpunkte und Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die paralell zur Geraden sind. a) k: x² + y² = 25 g: 3x + 4y = 10 Was wir bisher gemacht haben ist u.a. irgendwas mit einem Binom, so eine 2 Punkt Form,aus der man die Standardgleichung herasfinden kann etc.
Kan mir vielleiocht jemand helfen?
Danke, Hendrik |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Tangente (Mathematischer Grundbegriff) Sekante (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreise und Lagebeziehungen Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Vorwissen Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade | |
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Hallo, Deine Gerade g hat einen Anstieg von -3/4, denn es gilt: 3*x + 4*y = 10 | -3*x 4*y = -3*x + 10 | /4 y = -3/4*x + 5/2 Die gesuchten Tangenten sollen zu dieser Geraden parallel sein, haben also den selben Anstieg. Nur sind diese Parallelen in y-Richtung verschoben, d.h. sie haben ein anderes Absolutglied, das wir als n bezeichnen wollen. Die Parallelengleichungen lauten also: y = -3/4*x + n Jetzt suchen wir alle die n, für die die Kreisgleichung genau eine Lösung hat. Als quadratische Gleichung kann diese ja 2 Lösungen haben (Diskriminante größer Null), dann geht die Gerade durch den Kreis, keine Lösung haben (Diskriminante kleiner Null), dann geht die Gerade am Kreis vorbei oder genau eine Lösung (Diskriminante gleich Null), dann ist die Gerade eine Tangente. Also setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. x^2 + (-3/4*x+n)^2 = 25 x^2 + 9/16*x^2 - 3/2*x*n + n^2 = 25 | -25 25/16*x^2 - 3/2*n*x + n^2 - 25 = 0 | *16/25 x^2 - 24/25*n*x + 16/25*n^2 - 16 = 0 Diskriminante gleich Null setzen: (12/25*n)^2 - 16/25*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 16/25*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 400/625*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 400/625*n^2 + 16 = 0 -256/625*n^2 + 16 = 0 256/625*n^2 = 16 | *625/256 n^2 = 625/16 n_1 = -25/4 n_2 = 25/4 Die Tangentengleichungen lauten also: y = -3/4*x - 25/4 und y = -3/4*x + 25/4 Da die Geradengleichung der Geraden g in der Aufgabenstellung in einer anderen Form angegeben wurde, sollte man zu den beiden Tangentengleichungen die analoge Form als Lösung ermitteln und angeben: y = -3/4*x +- 25/4 | *4 4*y = -3*x +- 25 | +3*x 3*x + 4*y = +-25 Die Tangentengleichungen lauten damit: 3*x + 4*y = -25 und 3*x + 4*y = 25 Ein anderer Weg ist der, daß man sagt: Ich kenne den Anstieg der Geraden g, der ist -3/4. Die parallelen Tangenten haben den selben Anstieg. Wenn 2 Tangenten einen Kreis berühren und diese Tangenten sind parallel, dann geht die Verbindungsgerade der beiden Berührpunkte durch den Mittelpunkt des Kreises und diese Verbindungsgerade steht senkrecht auf den beiden Tangenten, d.h. der Anstieg ist -1/(-3/4) = 4/3. Der Mittelpunkt des Kreises ist (0;0) (allg. Kreisgleichung: (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2; mit (x_m;y_m) Koordinaten des Mittelpunktes und hier sind x_m=0 und y_m=0). und somit ist die Gleichung der orthogonalen Gerade durch die Berührpunkte: y = 4/3*x Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Kreis sind die Berührpunkte, also die Gleichung für diese Gerade in die Kreisgleichung einsetzen: x^2 + (4/3*x)^2 = 25 x^2 + 16/9*x^2 = 25 25/9*x^2 = 25 | *9/25 x^2 = 9 x_12 = +-3 y_12 = 4/3*(+-3) = +-4 Die Berührpunkte sind also (-3;-4) und (3;4) Jetzt muß man diese Punkte nur in die Tangentengleichungen y=-3/4*x+n einsetzen und die jeweiligen n ermitteln: y_12 = -3/4*x_12 + n_12 +-4 = -3/4*(+-3) + n_12 +-4 = -+9/4 + n_12 | +-9/4 +-4 +- 9/4 = n_12 n_12 = +-25/4 Das führt zum selben Ergebnis wie oben. |
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anonymous 13:55 Uhr, 12.09.2007 |
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Hallo m-at-he, wunderbar erklärt! Kannst du mir nochmal sagen, wieso bei dem folgenden Schritt das x aus der Gleichung fällt? Habe den Schritt nicht nachvollziehen können: x^2 - 24/25*n*x + 16/25*n^2 - 16 = 0 Diskriminante gleich Null setzen: (12/25*n)^2 - 16/25*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 16/25*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 400/625*n^2 + 16 = 0 144/625*n^2 - 400/625*n^2 + 16 = 0 -256/625*n^2 + 16 = 0 256/625*n^2 = 16 | *625/256 n^2 = 625/16 n_1 = -25/4 n_2 = 25/4 Grüße |
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Hallo, das x fällt weg, da es nichts in der Diskriminante zu suchen hat. Wir haben an dieser Stelle eine quadratische Gleichung in x, die durch einen Parameter n veränderlich ist. Wir suchen aber alle n, für das es genau eine Lösung in x gibt. Genau eine Lösung in x heißt, die Gerade ist eine Tangente und das heißt, daß die Diskriminante gleich Null ist, aber das steht in meiner Lösung alles bereits drin! |
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Nabend M-at-he, erstmal herzlichen Dank für deine ausführliche Lösung! So einen wie Dich würden wir uns auch als Mathelehrer wünschen! Der Anfang scheint mir noch ganz einfach zu sein. Nach y auflösen um "m" zu erhalten. RIchtig, oder? keine Lösung = Passante, zwei Lösungen = Sekanta, eine Lösung = Tangente. So steht es auch im Buch. Was diese Diskriminante ist, weiß ich allerdings nicht :S Klingt irgendwie diskriminierend ;) Im dritten Schritt wird in die "k" Gleichung das y² durch das zuvor ausgerechnete x (+n) ergänzt. Danach das (-3/4x + n)² mit der 1. Binomischen Formel ausgerechnet - da hatte ich meine Probleme bei :S Was ich nicht verstehe ist, wie aus x^2 + 9/16 25/16 werden. Das dann mit dem Kehrbruch multipliziert wird, um das 25/16 weg zu bekommen erscheint mir aber wieder logisch. Das ganze jetzt mit der Diskriminante versteh ich aber leider gar nicht. Sieht mir nur irgendwie nach PQ FOrmel aus?!
Vielen Dank nochmal,
EDIT: Habe den Anfang jetzt auch mal für unsere nächte AUfgabe versucht: k: (x-2)² + (y-1)² = 5 , g = 2x + y = 10 x² - 2x + (-2x + n)² - (-3/4x + n) = 25 |-25 x² - 2x + 4x² - 4xn + n² - (-3/4x) + n -25 =0 5x²- 6 3/4x * n + n² + n - 25 = 0 weiter komme ich aber auch leider nicht :( Ist mein Ansatz wenigstens richtig?
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Hallo, Meine erste Lösung taugt als Algorithmus für die Lösung solcher Aufgaben. Ich gebe Dir mal einfach die zur zweiten Version passende, einfach nur abgeänderte Version: Deine Gerade g hat einen Anstieg von -2, denn es gilt: 2*x + y = 10 | -2*x y = -2*x + 10 Die gesuchten Tangenten sollen zu dieser Geraden parallel sein, haben also den selben Anstieg. Nur sind diese Parallelen in y-Richtung verschoben, d.h. sie haben ein anderes Absolutglied, das wir als n bezeichnen wollen. Die Parallelengleichungen lauten also: y = -2*x + n Jetzt suchen wir alle die n, für die die Kreisgleichung genau eine Lösung hat. Als quadratische Gleichung kann diese ja 2 Lösungen haben (Diskriminante größer Null), dann geht die Gerade durch den Kreis, keine Lösung haben (Diskriminante kleiner Null), dann geht die Gerade am Kreis vorbei oder genau eine Lösung (Diskriminante gleich Null), dann ist die Gerade eine Tangente. Also setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. (x-2)^2 + (-2*x+n-1)^2 = 25 x^2-4*x+4 + 4*x^2+n^2+1+4*x-2*n-4*n*x = 25 5*x^2 - 4*n*x + n^2-2*n+5 = 25 | -25 5*x^2 - 4*n*x + n^2-2*n-20 = 0 Diskriminante gleich Null setzen (Diskriminante diesmal nicht in der p-q-Form): ((4*n)^2 - 4*5*(n^2-2*n-20))/(4*5^2) = 0 (4*n)^2 - 4*5*(n^2-2*n-20) = 0 16*n^2 - (20*n^2-40*n-400) = 0 16*n^2 - 20*n^2 + 40*n + 400 = 0 -4*n^2 + 40*n + 400 = 0 | /(-4) n^2 - 10*n - 100 = 0 n_12 = 5 +- sqrt(25+100) = 5 +- sqrt(125) = 5 +- 15 n_1 = 5 - 15 = -10 n_2 = 5 + 15 = 20 Die Tangentengleichungen lauten also: y = -2*x - 10 und y = -2*x + 20 Da die Geradengleichung der Geraden g in der Aufgabenstellung in einer anderen Form angegeben wurde, sollte man zu den beiden Tangentengleichungen die analoge Form als Lösung ermitteln und angeben: y = -2*x + (-10 oder 20) | +2*x 2*x + y = (-10 oder 20) Die Tangentengleichungen lauten damit: 2*x + y = -10 und 2*x + y = 20 |
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