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Beschränktes Wachstum

Schüler

Tags: Beschränktes Wachstum, Exponentialfunktion

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14:02 Uhr, 23.11.2015

Guten Tag.

Sitze hier nun vor einer Aufgabe bzgl. des beschränkten Wachstums und weiß nicht weiter.

Es geht um eine Person namens Anja. Diese möchte China besuchen, nimmt also an einem Chinesischkurs teil. Die Teilnehmer beginnen mit keinen vorherigen Kenntnissen.

Die maximale Lernkapazität eines durchschnittlichen Teilnehmers beträgt

500

Vokabeln. Es sind noch ein paar Zeiteinheiten gegeben und die bis dahin gerlernten Vokabeln. Es sollte eine Funktion aufgestellt werden. Diese tut hier wahrscheinlich nichts zur Sache, aber ich liste sie hier trotzdem noch auf.

L (t) = 500 - 500 \cdot e^{- 0,0338 t}

L (t)

beschreibt hierbei die Anzahl der gelernten Vokabeln,

t

die Zeit in Unterrichtsstunden.

Kommen wir auf Anja zurück, und damit auch zu der eigentlichen Aufgabe.

Anja beherrscht nach einer Stunde schon

50

Vokabeln, nach zwei Stunden sogar

98

.

*Wie lautet ihre persönliche Lernkurve?

*Wo liegt ihre Kapazitätsgrenze?

Mein bisheriger Ansatz:

A (t) = G - c \cdot e^{- k \cdot t}

A (t)

beschreibt die gelernten Vokabeln,

G

ist die Kapazitätsgrenze,

k

die Wachstumskonstante.

A (0) = G - c = 0

A (1) = G - c \cdot e^{- k} = 50

A (2) = G - c \cdot e^{- 2 k} = 98

Aus

A (0)

erkenne ich, dass

G

und

c

gleich groß sind. Es gilt

G = c

.

Nun komme ich nicht weiter. Die Aufgabe wäre ein leichtes, wenn die Kapazitätsgrenze gegeben wäre. Dies ist sie aber nicht.

Wie fahre ich fort? Im Prinzip bräuchte ich nur Hilfe beim Ermitteln der Kapazitätsgrenze, den Rest kann ich alleine lösen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:52 Uhr, 23.11.2015

Es geht doch eigentlich nur noch darum, ein (nichtlineares) Gleichungssystem zu lösen:

G - G \cdot e^{- k} = 50

G - G \cdot e^{- 2 k} = 98

Man könnte

z . B

G

ausklammern und eine Gleichung nach

G

auflösen, dann in die andere einsetzen. Bei der dann entstandenen Gleichung könnte die Substitution

z = e^{- k}

helfen.

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15:16 Uhr, 23.11.2015

Ausgeklammert ergibt sich:

I.

G \cdot (1 - e^{- k}) = 50

II.

G \cdot (1 - e^{- 2 k}) = 98

Stelle ich I. nach

G

um, erhalte ich

G = \frac{50}{1 - e^{- k}}

Substitution:

e^{- k} = z

G = \frac{50}{1 - z}

Richtig soweit?

Per Einsetzungsverfahren erhalte ich:

I.

\frac{50}{1 - z} \cdot (1 - z) = 50

II.

\frac{50}{1 - z} \cdot (1 - z^{2}) = 98

Wie fahre ich fort?
Nach

z

auflösen? Wie?

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15:22 Uhr, 23.11.2015

Ja, gut!

I ist (logischerweise) nur eine Identität.
Aber II ist die zu lösende Gleichung.
Man könnte das in eine quadratische Gleichung überführen, aber mit einem kleinen Trick geht das noch viel einfacher...

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15:48 Uhr, 23.11.2015

Habe nun folgendes:

\frac{50}{1 - z} \cdot (1 - z^{2}) = \frac{50 - 50 z^{2}}{1 - z} = 50 + 50 z

50 + 50 z = 98

50 z = 48

z = \frac{24}{25}

Rücksubstituieren:

\frac{24}{25} = e^{- k}

ln (\frac{24}{25}) = - k

k = - ln (\frac{24}{25})

G \cdot (1 - e^{- 2 \cdot (- ln (\frac{24}{25}))}) = 98

\frac{98}{1 - e^{- 2 \cdot (- ln (\frac{24}{25}))}} = G

G = 1250

Eine Probe bestätigt mein Ergebnis.

A (t) = 1250 - 1250 \cdot e^{ln (\frac{24}{25}) \cdot t}

Danke für deine Hilfe!

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