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Beschränktheit dieser Folge

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

 
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Luna-

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09:54 Uhr, 24.01.2023

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Hallo
Gegeben ist diese Folge :(c) (cn) =n +Wurzel von (1+ 1/n²) für n€N0
Lösung :
Die Folge ist nicht beschr¨ankt:
für c1 ≥ 1 quadrieren wir die Gleichung cn ≥ c1 und betrachten Gleichheit :
n²*(1 + 1/n²) = c1². Nach dem Umrechnen folgt :n=+- von Wurzel (c1² -1) und damit erhält man für beliebiges c1R ∃N ∈ N mit N= Wurzel ( c1² -1) fur c1 ≥ 1 und 1 sonst, sodass
cn ≥ c1.
Meine Frage lautet nun : interpretiere ich das richtig : es wurde für eine Konstante c1 (reelle Zahl ) eine natürliche Zahl N gefunden . N ist ein Folgenindex . Ab diesen N gilt : für alle n größer gleich N: cn ist größer als c1. Das heißt für jede reelle Zahl kann ein N gefunden werden für welches alle cn größer sind als c1. D.h. : es gibt keine Schranke
Noch eine Frage : laut Lösung sind untere Schranken alle Zahlen die kleiner als 0 sind . Und warum nicht alle Zahlen die kleiner als 1 sind ; ich erhalte für c0=1.
Danke mal voraus


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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HAL9000

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10:11 Uhr, 24.01.2023

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Warum quadrieren? Da alle Wurzeln nichtnegativ sind, ist offenkundig

cn=n+1+1n2>n,

d.h. cn ist GRÖSSER als die unbeschränkt wachsende Folge n, damit ist doch eigentlich alles gesagt: cn ist somit auch unbeschränkt.


Insgesamt scheinst du auf Kriegsfuß mit den Formeldarstellungsmöglichkeiten dieses Forums zu stehen, ich sehe jedenfalls wenig Sinn in Termen wie n=+- u.a. in deinen Ausführungen.
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calc007

calc007

11:23 Uhr, 24.01.2023

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Hallo
Rein formal könnte man vielleicht argwöhnen, dass der Aufgabensteller eine untere Schranke studiert sehen will.
Alle Folgenglieder sind natürlich größer oder gleich dem c1=1+2.
Darin könnte man eine untere Schranke sehen.

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HAL9000

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12:19 Uhr, 24.01.2023

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Ja, die Monotonie der Folge sieht man leicht via n+1<cnn+2 für alle n1, woraus unmittelbar cnn+2<n+2<cn+1 folgt, damit ist c1=1+2 kleinstes Folgenelement.

In ihren (schlecht lesbaren) Ausführungen scheint Luna allerdings abweichend von der Folge cn=n1+1n2 zu sprechen. Die kann man sofort zu cn=n2+1 vereinfachen, und für die gilt qualitativ dasselbe wie für die Folge mit dem "+": Sie ist ebenfalls streng monoton wachsend, und ebenfalls wegen cn>n unbeschränkt wachsend.

Luna-

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13:08 Uhr, 24.01.2023

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ich habe das hier so reingeschrieben wie es in der Angabe bzw. Lösung steht .wieso diese Folge nicht vereinfacht wurde ist mir auch nicht klar . Die kleinste Schranke muss doch mit n=0 anfangen , denn hier steht nN0( also N mit 0).Oder? meine Berechnung stimmt jedenfalls nicht mit der in der Lösung überein .
Ich weiß leider nicht wie man den "Formeleditor" anwendet :(
Luna-

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13:09 Uhr, 24.01.2023

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Und ich weiß auch nicht warum sie das quadriert haben ?
Habe ich das überhaupt richtig interpretiert ?
Luna-

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13:09 Uhr, 24.01.2023

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Und ich weiß auch nicht warum sie das quadriert haben ?
Habe ich das überhaupt richtig interpretiert ?
Luna-

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13:09 Uhr, 24.01.2023

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Und ich weiß auch nicht warum sie das quadriert haben ?
Habe ich das überhaupt richtig interpretiert ?
Luna-

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13:09 Uhr, 24.01.2023

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Und ich weiß auch nicht warum sie das quadriert haben ?
Habe ich das überhaupt richtig interpretiert ?
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calc007

calc007

13:36 Uhr, 24.01.2023

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Leider sind die Vereinbarungen, was unter 0 zu verstehen ist, nicht ganz einheitlich.
Typischerweise aber wird man
unter die natürlichen Zahlen (einschließlich Null),
unter 0 die natürlichen Zahlen im griechischen Sinne (ausschließlich Null) verstehen.

In diesem Fall hier ist es eh klar, da ja der Ausdruck 1n2 für die Null nicht definiert wäre.


Einen Gefallen würdest du uns allen endlich machen, wenn du endlich klar stellen wolltest, ob die Aufgabe denn nun endlich
a)
cn=n+1+1n2
oder
b)
cn=n1+1n2=n2+1
lauten wollte.


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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:39 Uhr, 24.01.2023

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n=0 liegt außerhalb des Definitionsbereichs sowohl von cn=n+1+1n2 als auch von cn=n1+1n2. Vereinfacht man letzteres jedoch zu cn=n2+1, so ist dieser Term tatsächlich auch für n=0 erklärt. Das rechtfertigt aber noch lange nicht, diese Definiertheit auf den Originalterm n1+1n2 rückzutransportieren. :(

P.S.: Ich kann mich des Eindrucks nicht erwehren, dass hier (wieder mal) ein Fall von fürchterlich schludriger Darstellung der Aufgabe vorliegt, der eine Menge eigentlich unnötiger Diskussionen lostritt. Das äußert sich auch darin, dass du bis jetzt immer noch nicht klargestellt hast, ob es nun um cn=n+1+1n2 oder cn=n1+1n2 gehen soll. :(
Luna-

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15:20 Uhr, 24.01.2023

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Angabe b.) das zweitere
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HAL9000

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15:41 Uhr, 24.01.2023

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> Typischerweise aber wird man
> unter N die natürlichen Zahlen (einschließlich Null),
> unter 0 die natürlichen Zahlen im griechischen Sinne (ausschließlich Null) verstehen.

Hast du das nicht gerade verwechselt? Wenn ich Symbol 0 sehe, dann sind das für mich IMMER die natürlichen Zahlen inklusive Null. Bei hingegen schwingt immer eine Unsicherheit mit: Meistens ohne Null, aber ich habe dieses Symbol in der Schule (vor allerdings ca. 40 Jahren) so kennengelernt MIT Null.

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calc007

calc007

16:09 Uhr, 24.01.2023

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Einigkeit besteht offensichtlich nur darin, dass trotz aller Versuche unzähliger Institute, Normen und Professoren die Symbolik der natürlichen Zahlen irgendwie zu vereinheitlichen und unmissverständlich zu gestalten nach wie vor widersprüchliche und verwirrende Vereinbarungen umher schwirren.
Ich hätte mich vielleicht besser auf die Norm 5473 berufen sollen, und auf

für die natürlichen Zahlen OHNE Null.

Luna-

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16:12 Uhr, 24.01.2023

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Genau das was du jetzt geschrieben hast steht in der Angabe . N MIT 0 . N index 0 . Ich habe es halt so eingetippt N0. Und habe mit 0 begonnen . n0 ist erstes Glied . Aber natürlich dann in die "vereinfachte" Variante eingesetzt ( Wurzel von (n² +1))
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calc007

calc007

16:22 Uhr, 24.01.2023

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Letztendlich ist das Diskussion um Kaisers Bart.
Du wirst dich halt mit deinem Professor/Aufgabensteller verständigen müssen, wie ihr eure Definitionen vereinbart haben wollt.

Wie schon gesagt:
Für die ursprüngliche Aufgaben-Darstellung
cn=n1+1n2
ist die ganze Wortdrescherei eh müßig. Die ist für n=0 eh nicht definiert.

Luna-

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18:18 Uhr, 24.01.2023

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ok.Danke .Vielleicht ist das auch ein Fehler in der Angabe
Habe ich aber den Lösungsvorgang richtig interpretiert ? Das was der Verfasser sagen wollte .
Bzw.: hättet ihr den Ansatz anders gemacht als er ? bzw wie denn ?
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ledum

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16:58 Uhr, 25.01.2023

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Hallo
Das Quadrieren ist völlig überflüssig, da 2>1+1n2>1 ist gilt cn>n für alle n. also cn nicht nach oben beschränkt und nach unten durch c1
Gruß ledum
Luna-

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16:02 Uhr, 26.01.2023

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Danke .Ich hätte auch nicht quadriert ; habe mich auch gefragt wieso er das getan hat ?
Kann mir aber jemand sagen ob ich das richtig interpretiert habe ?
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calc007

calc007

16:37 Uhr, 26.01.2023

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Es wird aus deinen Rückfragen nicht so recht klar, welche Interpretationen du interpretiert und kommentiert haben willst. Wenn du noch Unsicherheiten hast, dann formuliere die doch in klaren Fragen.

Luna-

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12:22 Uhr, 27.01.2023

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Also der Verfasser hat das geschrieben :
Die Folge ist nicht beschr¨ankt:
für c1 ≥ 1 quadrieren wir die Gleichung cn ≥ c1 und betrachten Gleichheit :
n²*(1 + 1/n²) = c1². Nach dem Umrechnen folgt :n=+− von Wurzel (c1² −1) und damit erhält man für beliebiges c1R ∃N ∈ N mit N= Wurzel ( c1² −1) fur c1 ≥ 1 und 1 sonst, sodass
cn ≥ c1.
Luna-

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12:25 Uhr, 27.01.2023

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und meine Interpretation davon ist :
es wurde für eine Konstante c1 (reelle Zahl ) eine natürliche Zahl N gefunden . N ist ein Folgenindex . Ab diesen N gilt : für alle n größer gleich N: cn ist größer als c1. Das heißt für jede reelle Zahl kann ein N gefunden werden für welches alle cn größer sind als c1. D.h. : es gibt keine Schranke
Antwort
calc007

calc007

12:53 Uhr, 27.01.2023

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Ich persönlich finde einige Stolperpunkte bzw. Merkwürdigkeiten in dieser Begründung. Das mag aber auch an diesem Formelsatz liegen, den du vermutlich nicht wirklich original-getreu hier im Forum abbilden magst oder kannst.
Im Grundsatz aber spricht der Verfasser erkennbar Monotonie an. Und das ist ja ein guter Gedanke und sicherlich ausbaufähig in eine Form, die auch dir wohlgefällig und hinreichend ist.
Ich empfehle,
> du solltest die erkennbaren und zielführenden Gedanken dieser Lösung nutzen,
> und gerne daraus einen schlüssigen Beweis in deinem Stil schaffen,
> oder gerne Elemente aus den (eingängigeren) Beweisführungen beisteuern, die oben schon angesprochen waren.



PS:
Und wie schon angesprochen,
scheint der Schwerpunkt dieser Abhandlung ja die obere Beschränkung zu betreffen,
und die Korrektur in
'es gibt keine obere Schranke'
für sehr Missverständnis-vermeidend.
Luna-

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11:51 Uhr, 29.01.2023

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Hoffentlich ist es hier verständlicher : Anhang

m_athe
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