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Beschränktheit einer Zahlenfolge beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, Beweis, Zahlenfolge

blehhh

19:54 Uhr, 19.11.2022

Ich brauche einen Arbeitsansatz für folgende Aufgabe, weil ich das mit der Beschränktheit immer noch nicht gepeilt habe.

Beweisen Sie, dass folgende Zahlenfolge beschränkt ist.

a_{n + 1} = a_{n} (2 - a_{n}), a_{1} = \frac{1}{2}

Wie fange ich jetzt den Beweis hier an und wie gehe ich im Allgemeinen vor?

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Roman-22

20:11 Uhr, 19.11.2022

Du könntest dir zB überlegen, welchen Wert

x \cdot (2 - x)

maximal annehmen kann

(\to

Parabel, Scheitel)

blehhh

13:58 Uhr, 20.11.2022

Ich stehe leider immer noch etwas auf dem Schlauch...
Blöde Frage, aber kann mir den Anfang jemand vorrechnen, sodass ich das besser nachvollziehen kann? ^^"

HAL9000

14:03 Uhr, 20.11.2022

Tatsächlich kann man für diese Folge eine explizite Darstellung finden (auf den Trichter kann man auch kommen, wenn man die ersten paar Folgenglieder anschaut):

Es ist

1 - a_{n + 1} = 1 - 2 a_{n} + a_{n}^{2} = {(1 - a_{n})}^{2}

, daraus folgt unmittelbar

1 - a_{n} = {(1 - a_{1})}^{2^{n - 1}}

umgestellt

a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{2^{n - 1}}}

blehhh

14:21 Uhr, 20.11.2022

Okay... soweit so gut, glaube ich... Woher kommt die

1 - ...

? Das frage ich mich gerade.

Und mit dieser expliziten Darstellung

a_{n} = 1 - \frac{1}{2^{2^{n - 1}}}

kann ich jetzt Aussagen über die Beschränktheit treffen, richtig?

Also je größer

n

wird, desto kleiner wird der Bruch und durch

1 -

nähert sich die Folge immer weiter der 1.
Also ist die untere Grenze

\frac{1}{2}

mit

n = 1

und die obere Grenze ist 1.

rundblick aktiv_icon

16:42 Uhr, 20.11.2022

.
"Also ist die untere Grenze

\frac{1}{2}

mit

n = 1

und die obere Grenze ist 1."

ergänzend eine kleine Anmerkung zu den verwendeten Begriffen:

\to

deine Folge hat

v i e l e .

. untere (alle kleiner

0,5) -

und obere (alle grösser

1) .

G r e n z e n

.

Vorschlag:
verwende hier also die korrekten Begriffe Infimum und Supremum für das, was du gefunden hast,
oder schreibe halt :

\frac{1}{2}

ist größte untere Grenze (sie gehört hier zur Menge deiner Folgenglieder)
und 1 ist die kleinste obere Grenze (

1

gehört nicht zur Menge deiner Folgenglieder)

Das Supremum bzw. Infimum bezeichnet immer die kleinste obere bzw. größte untere Schranke einer Menge - gemeint ist damit, dass alle Werte der Menge kleiner oder gleich dem Supremum sind (bzw. größer oder gleich dem Infimum).
.

abakus

17:24 Uhr, 20.11.2022

"ergänzend eine kleine Anmerkung zu den verwendeten Begriffen:
→ deine Folge hat viele.. untere (alle kleiner 0,5)− und obere (alle grösser 1).. Grenzen.

Vorschlag:
verwende hier also die korrekten Begriffe Infimum und Supremum"

@rundblick:
Vorschlag: Verwende hier die korrekten Begriffe. Das, was du als
viele ... Grenzen
bezeichnest, sind in Wirklichkeit so genannte "Schranken".

HAL9000

11:18 Uhr, 21.11.2022

> Woher kommt die

1 - \dots

Kurze Antwort: Weil es passt! D.h., die Substitution

b_{n} = 1 - a_{n}

überführt die o.g. Iterationsgleichung in eine sehr simple für Folge

(b_{n})

, nämlich

b_{n + 1} = b_{n}^{2}

, die zusammen mit Startwert

b_{1} = \frac{1}{2}

b_{2} = \frac{1}{2^{2}}

b_{3} = \frac{1}{2^{4}}

b_{4} = \frac{1}{2^{8}}

usw. allgemein

b_{n} = \frac{1}{2^{2^{n - 1}}}

führt.

Das ist natürlich ein außergewöhnlicher Glücksfall, der sich i.d.R. auf andere (selbst ähnlich aussehende) rekursiv definierte Folgen nicht kopieren lässt.

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