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Bestimme die Summe für |q|<1

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Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Folgen und Reihen, Grenzwert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Zera1212 aktiv_icon

16:29 Uhr, 23.05.2019

Kann mir jemand hierbei einen Tipp geben, wie ich anfangen kann?
Hab angefangen erst für die endliche Reihe einen Term zu finden, aber das gelingt mir aufgrund des

k^{3}

nicht.
Andere Ansätze hab ich leider noch nicht gefunden.
Vielen Dank im Voraus schon einmal!
Mit freundlichen Grüßen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

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16:53 Uhr, 23.05.2019

Leider kann ich dir nur die Lösung mitteilen:
www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%5E3*q%5Ek+from+1+to+infinite

anonymous

16:58 Uhr, 23.05.2019

Hallo
Wenn sonst nichts hilft, dann hilft vielleicht der steinige Weg zu Fuß - und Schritt für Schritt...
Aber vielleicht hat ja noch jemand eine bessere Idee.

pivot aktiv_icon

16:58 Uhr, 23.05.2019

Hallo,

versuche es über das dreimalige Ableiten von

q^{k}

.

Gruß

pivot

ermanus aktiv_icon

17:06 Uhr, 23.05.2019

Stimme pivot zu ;-)

HAL9000

17:14 Uhr, 23.05.2019

Na zwischen den Ableitungsschritten würde ich immer wieder mit

q

multiplizieren:

Ausgangspunkt geometrische Reihe:

\frac{1}{1 - q} = \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k}

Einmal ableiten:

\frac{1}{(1 - q)^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k q^{k - 1}

Mit

q

multiplizieren:

\frac{q}{(1 - q)^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k q^{k}

Nochmal ableiten:

(\frac{q}{(1 - q)^{2}}) ´ = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} q^{k - 1}

(Ableitung links bitte selbst ausrechnen!)

Mit

q

multiplizieren ...

ermanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 23.05.2019

Oh ja,
das vereinfacht die Sache enorm.

Zera1212 aktiv_icon

17:42 Uhr, 23.05.2019

Danke, komme jetzt auf das Ergebnis

\frac{q + 4 q^{2} + q^{3}}{{(1 - q)}^{4}}

. Aber was sagt mir das dann für

| q | < 1

? Bekomme doch überall andere Werte raus oder? Oder hab ich gerade ein Brett vorm Kopf?

pivot aktiv_icon

17:59 Uhr, 23.05.2019

Na klar bekommst du für unterschiedliche Werte von

q \in (- 1, 1)

auch unterschiedliche Werte für die Reihe heraus.

q

kann ja frei gewählt werden-mit der gegebenen Einschränkung.

anonymous

18:02 Uhr, 23.05.2019

Sieht doch gut aus. Das konnte ich jetzt auch nachvollziehen.
Nur deine Rückfrage ist nicht so ganz klar.
"Bekomme doch überall andere Werte raus(,) oder?"
Was meinst du mit 'überall'?
Dass die Summe abhängig vom Wert der Variablen

q

ist, sollte doch offensichtlich sein...

Zera1212 aktiv_icon

18:11 Uhr, 23.05.2019

Ne, ich hab etwas zu kompliziert gedacht und mich zu sehr an einem Beispiel orientiert, wo man noch

n

dabei hat. Aber das haben wir ja gar nicht. Danke für die Hilfe!

HAL9000

18:41 Uhr, 23.05.2019

Eine andere (aber im Einzelfall auch mal komplizierter wirkende) Möglichkeit zur Berechnung von

\sum_{k = 0}^{\infty} p (k) q^{k}

für

∣ q ∣ < 1

sowie ein gegebenes Polynom

p

:

Durch

m

-maliges Ableiten der geometrischen Reihe bekommt man

\frac{1}{(1 - q)^{m + 1}} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{k + m}{m}) q^{k} (*)

,

gilt auch für

m = 0

. Nun ist

p_{m} (k) := (\binom{k + m}{m})

ein Polynom

m

-ten Grades in

k

, für

m = 0, 1, \dots

bilden diese Polynome eine Basis des Polynomraumes

ℝ [k]

. Insofern kann man jedes Polynom

p

vom Grad

n

auch in dieser Basis darstellen, d.h.

p (k) = \sum_{m = 0}^{n} a_{m} p_{m} (k)

mit zu bestimmenden Koeffizienten

a_{0}, \dots, a_{n}

. Und mit dieser Darstellung ist dann wegen (*) einfach

\sum_{k = 0}^{\infty} p (k) q^{k} = \sum_{m = 0}^{n} \frac{a_{m}}{(1 - q)^{m + 1}}

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