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Bestimmen einer exponentiellen Modellfunktion

Schüler Gesamtschule,

Tags: Exponentialfunktion, Exponentielles Wachstum

Mariposa17 aktiv_icon

13:56 Uhr, 17.04.2013

Hey, ich komme in Mathe leider nicht weiter. Die Aufgabe lautet:

Ausbreitung einer Seuche
Eine ansteckende Infektionskrankheit breitet sich unter den

41

Millionen Einwohnern eines Landes aus. Nach Schätzungen von Experten ist jeder

10.000

ste für diese Seuche empfänglich. Nachdem die Gefährlichkeit der Epidemie bekannt geworden ist, wird die weitere Ausbreitung systematisch untersucht. Der Verlauf der Ausbreitung ist in der folgenden Tabelle festgehalten:

ZEIT in Wochen

: 0; 1; 2; 5

Anzahl infizierter Personen:

99; 123; 150; 291

a)

Diskutieren Sie jeweils das Für und Wieder einer linearen und einer exponentiellen Modellierung. Bestimmen Sie eine exponentielle Modellfunktion und prognostizieren Sie auf Grundlage dieser Funktion den Zeitpunkt, an dem

95 %

der für die Seuche empfänglichen Menschen infiziert sind.

Das die Seuche sich nicht linear ausbreitet ist mir schon bewusst, nur habe ich immer etwas Schwierigkeiten bei dem aufstellen von Funktionen.

Vielen Dank schon Mal, Lg Mariposa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:41 Uhr, 17.04.2013

Die Gleichung lautet

N (t) = N (0) * a^{t}

a=Wachstumsfaktor
t= Zeit (in Wochen)
N(t)=Endbestand nach n Wochen
N(0)= Anfangsbestand

Zur Berechnung von a würde ich den längsten Zeit (nach 5 Wochen) : N(5)=N(0)*a^5

291=99*a^5

Daraus kannst du a berechnen.

Wenn jeder 10000te empfänglich ist sind das 4100 von 41000000. Davon 95% sind 3895.

Neue Gleichung:

3895=99*a^t

Mit dem ermittelten a kannst du t berechnen.

Mariposa17 aktiv_icon

20:46 Uhr, 17.04.2013

Vielen Dank, das hat mir auf jeden Fall weitergeholfen :-)

Also als exponentielle Modellfunktion habe ich jetzt

N (t) = 99 \cdot {1,24}^{t}

raus.

a habe ich so berechnet:

N (5) = N (0) \cdot a^{5}

291 = 99 \cdot a^{5}

2,939 = a^{5}

(zieht man hier die Wurzel??,

\sqrt[5]{2,939})

1,24 = a

Ich hoffe, dass das soweit richtig ist, vor allem mein letzter Schritt.

Um den Zeitpunkt zu bestimmen an dem

95 %

der für die Seuche empfänglichen Menschen infiziert sind, habe ich das so gerechnet:

3895 = 99 \cdot {1,24}^{t}

39,343 = {1,24}^{t}

(ist dieser Schritt richtig??,

- 1,24)

38,103 = t

Das Ergebnis wäre dann also, dass nach ca.

38

Wochen

95 %

der für die Seuche empfänglichen Menschen infiziert sind.

Die Frage ist nun ob meine jeweils letzten Schritte richtig sind?
Vielen Dank nochmal!

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20:57 Uhr, 17.04.2013

Für t habe ich: ln39,343/ln1,24=17,07
Du musst also logaritmieren, um an t ranzukommen.

a ist korrekt. Aber ich würde nicht zu früh runden. Das könnte bei anderen Zahlen zu Problemen führen. Hier allerdings nicht.

Mariposa17 aktiv_icon

21:00 Uhr, 17.04.2013

Hmm aber warum wird denn hier jetzt der Logarithmus verwendet? Ich dachte den verwendet man nur bei Funktionen mit e?

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06:36 Uhr, 18.04.2013

Es gilt das Log-Gesetz:

l o g a^{b} = b * l o g a

Ich habe hier mit ln logarithmiert, es geht aber auch jede andere Basis.
Der TR hat nur die Basen e und 10.
Nur so kommt man an den Exponenten t heran.

Mariposa17 aktiv_icon

18:04 Uhr, 18.04.2013

Okay, vielen Dank nochmal :-)

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