Bestimmte Divergenz

Hallo,

Du sollst das allgemein zeigen und nicht für ein Beispiel.

Wann heißt eine Folge denn bestimmt divergent gegen unendlich?

Das steht bestimmt im Vorlesungsskript.

Gruß

Stephan

Wo kommt denn jetzt ein ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ her?

Du musst aus

"Die Folge ${\displaystyle {\left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ strebt gegen ${\displaystyle +\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, falls ${\displaystyle \forall \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0\exists {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\in \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\forall \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0:{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}>\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$"

folgern, dass dann für die Folge ${\displaystyle {\left({\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt ${\displaystyle \forall \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0\exists {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{\prime }\in \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\forall \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0^{\prime }:{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}>\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Beachte dabei, dass ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\ge {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt, für fast alle n.

Sei c>0, weil an bestimmt divergiert gibt es ein N0, so dass für alle an mit n>N0 an>c ist. Nun gilt bn>=an für n>n0, setze N0'=max(n0,N0), dann ist für n>N0' bn>an>c.

Deshalb divergiert auch (bn).

PS für fast alle heißt für alle bis auf endlich viele. In der Aufgabenstellung steht doch bn>an für n>no und nicht für alle n, also könnte es für einige bn nicht gelten.

n0 stammt aus der Aufgabenstellung. Nun ist dummerweise in der Definition der bestimmten Divergenz auch ein n0, das habe ich in N0 umbenannt. Auch in der Definition der best. Div. von bn kommt ein n= vor, das habe ich N0' genannt. Ist leider etwas verwirrend und es war leider auch noch ein Tippfehler drin.

Das ist das Maximum, als der größere der beiden Werte.

Wir möchten ja c<an<bn, aber dummerweise gilt an<bn nur an n0.

Andererseits gilt c<an erst ab N0. beide Ungleichungen gelten somit erst dann, wenn n über der größeren der beiden Zahlen n0 und N0 liegt, also ab max(n0,N0).

Gerne ;-)

Na ja nicht so ganz oder besser nein, gar nicht.

Mal ein Beispiel

an: 1,4,9,16,25,36,49, 64, 81,100,... also n²

bn: 1,2,4, 8,16, 32,64,128,256,512,... also 2^n

an divergiert bestimmt gegen oo

fast alle bn sind größer als an. Aber nicht alle, die ersten fünf bn sind kleiner als die entsprechenden an. n0 ist demnach 6 (ab dem 6. Glied gilt bn>an)

Sei jetzt z.B. c=80. a9=81 ist das erste an, das größer ist als c, alle nachfolgenden an sind dann erst recht >c. daher kann N0=9 gewählt werden.

Ab welchem n ist bn>c? b8=128> c und dann für alle weiteren, also kann man für N0' denselben Wert wählen wie beim an, nämlich N0 =9 (jede Zahl ab 8 tut es)

Sei jetzt aber z.B. c=10. Das erste an>c ist a4, daher kann N0=4 gewählt werden. Dummerweise ist b4 aber nur 8, was nicht größer als an ist und daher nicht >c ist. Erst ab n=5 ist bn>c. Daher habe ich N0'=max(n0,N0)=max(5,4)=5 gesetzt.

Somit gibt es in jedem Fall ein N0' für die Folge bn.

Das wäre toll. Bedenke aber, dass es für einen Beweis eben nicht genügt, ein paar Beispiele zu rechnen. Das war nur gut, um Dir zum Verständnis der Problematik zu verhelfen.