Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis ℚ[i] ={a+ib | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℚ ist ein Körper.

Beweis ℚ[i] ={a+ib | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℚ ist ein Körper.

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Tags: Beweis, Beweisführung, Gruppen, Körper

cpu-core aktiv_icon

18:11 Uhr, 15.05.2017

Guten Tag OnlineMathe Community,

undzwar muss ich zurzeit beweisen, dass:

ℚ [i]

mit der komplexen Addition und Multiplikation einen Körper bildet, wobei

ℚ [i] = {a + i b ∣ a, b \in ℚ} ⊑ ℂ

sei.

Ich bin mir bewusst, dass ich die Körperaxiome:

K 1 :

(K, +)

ist eine

a b e l s c h e

G r u p p e

(Neutrales Element 0)

K 2 :

(K \ {0}, *)

ist eine

a b e l s c h e

G r u p p e

(Neutrales Element 1)

K 3 :

D i s t r i b u t i v g s e t z e .

nachweisen muss, nur wie?
Axiome sind ja von Grund auf als wahr anzunehmen, wie soll ich diese denn beweisen?

B s p .

ich möchte zeigen, dass die gegebene Menge das

K o m m u t a t i v g e s e t z

bzg. der Addition erfüllt, jedoch kann ich doch nicht die Assoziativgesetze, Neutrales Element sowie das Inverse Element anwenden, da diese ja auch nicht bewiesen sind oder?

Meiner Meinung nach müsste ich doch erstmal die Addition und Multiplikation definieren?
Oder liege ich falsch?

Hoffe jemand kann mich aufklären.

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

18:30 Uhr, 15.05.2017

Hallo,

dir ist doch eine konkrete Menge, nämlich

K = ℚ [i]

, vorgegeben.
Eine Menge ist ein Körper, wenn sie den Körperaxiomen genügt, also
musst du zeigen, dass dies für

K

zutrifft. Warum sollten Axiome grundsätzlich
auf jede Menge zutreffen? Dann wäre ja jede Menge ein Körper! Das ist doch unsinnig ;-)

Nun zu deiner Aufgabe: ist euch bekannt, dass

ℂ

ein Körper ist?

cpu-core aktiv_icon

18:42 Uhr, 15.05.2017

Vielen Dank für die Rückmeldung :-)

Also müsste ich einfach

\frac{a + b i}{a + b i}

in die Körperaxiome einsetzen und ausrechnen?

Wir haben

ℂ

schon behandelt.
Ich könnte doch auch argumentieren, das

ℚ [i]

eine Teilmenge von

ℂ

ist und da

ℂ

ein Körper ist, induziert wird, dass

ℚ [i]

auch ein Körper ist?
Es gilt soweit ich weiß, dass

ℚ \subseteq ℝ \subseteq ℂ .

Ich frage mich was das

[i]

nebem dem

ℚ

bedeutet.
Haben wir in der Vorlesung nicht besprochen :/

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

ermanus aktiv_icon

18:50 Uhr, 15.05.2017

Zum großen Teil ist das OK.

Du musst aber auf jeden Fall folgende Dinge nachweisen:

1. Abgeschlossenheit von

K

bzgl. "+",
2. Existenz der 0 in

K

,
3. Existenz des Inversen, also

z \in K \Rightarrow - z \in K

.
4. Abgeschlossenheit von

K

bzgl. Multiplikation.
5. Existenz der 1 in

K

,
6. Existenz des multiplikativ Inversen, also

z \in K^{*} \Rightarrow z^{- 1} \in K^{*}

.

Alle anderen Gesetze werden in der Tat vom Oberkörper

ℂ

geerbt.

Gruß ermanus

cpu-core aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.05.2017

Da stellt sich mir die Frage wie ich angegebenes nachweisen soll.
Soll ich einfach

\frac{a + b i}{a + b i}

in die Körperaxiome einsetzen und zeigen, dass die Gesetze gelten?
Ich blicke immer noch nicht durch.

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

ermanus aktiv_icon

19:05 Uhr, 15.05.2017

Ich fange mal mit der 6-Punkte-Liste an, dann wirst du erahnen,
wie das alles gemeint ist:

1. Abgeschlossenheit von

K

bzgl. der Addition:
Seien

z_{1} = a_{1} + b_{1} i \in K

und

z_{2} = a_{2} + b_{2} i \in K

.
dann gilt

z_{1} + z_{2} = a_{1} + a_{2} + (b_{1} + b_{2}) i

,
Da

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℚ

und

ℚ

Körper ist, gilt

a_{1} + a_{2} \in ℚ

und ebenso

b_{1} + b_{2} \in ℚ

, daher ist

z_{1} + z_{2} \in K

.

2. Es ist

0 = 0 + 0 i

, also

0 = a + b i

mit

a = b = 0 \in ℚ

,
folglich

0 \in K

.

...

cpu-core aktiv_icon

19:09 Uhr, 15.05.2017

Ich habs jetzt :-)
Ich bedanke mich @emanus

Ich werde jenachdem in paar Stunden meine Lösung posten.

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

1371059

1371048

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?