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Beweis 1+q+q^2+...+q^n = [1-q^(n+1)] / (1-q)

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis

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anonymous

anonymous

16:56 Uhr, 10.11.2009

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Ich soll beweisen, dass für

s_{n} := 1 + q + q^{2} + ... + q^{n}, n

element

ℝ

gilt:

s_{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Tipp: Beachten Sie

s_{n} = \frac{(1 - q) \cdot s_{n}}{1 - q}

Leider weis ich nicht wie ich vorgehen soll. Habe überlegt es duch Vollständige Induktion zu zeigen, aber ich komme nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

smoka

17:02 Uhr, 10.11.2009

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Vollständige Induktion ist schonmal eine gute Idee. Wo kommst Du denn nicht weiter?

anonymous

anonymous

17:23 Uhr, 10.11.2009

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Beim Induktionsschritt weis ich nicht wie ich das machen soll.
Also Induktionsanfang

n = 1

dann steht da

1 + q^{1} = \frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q} = \frac{1 - q^{2}}{1 - q} = 1 + q

Induktionsvoraussetzung:

n \to n + 1

Induktionsschritt:

1 + q + q^{2} + ... + q^{n} + q^{n + 1} = \frac{1 - q^{(n + 1) + 1}}{1 - q}

Stimmt das ? Wenn ja, wie soll ich jetzt weiter machen?

Antwort

mathemaus999

17:35 Uhr, 10.11.2009

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Hallo,

das ohne Induktion viel einfacher. Schau mal auf das Bild.

Grüße

mathe007

Antwort

smoka

17:55 Uhr, 10.11.2009

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Du sollst zeigen, dass

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

gilt:
Induktionsanfang:

n = 0

1 = \sum_{k = 0}^{0} q^{0} = \frac{1 - q^{0 + 1}}{1 - q} = 1

Wir haben nun gezeigt, dass die Induktionsvoraussetzung für ein n gilt. Bleibt zu zeigen, dass es auch für das nächste gilt.
Induktionsvoraussetzung:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

Induktionsschritt:

n \Rightarrow n + 1

z.z.:

\sum_{k = 0}^{n + 1} q^{k} = \frac{1 - q^{(n + 1) + 1}}{1 - q}

Einen Schritt mach ich noch, den Rest Du:

\sum_{k = 0}^{n + 1} q^{k} = \sum_{k = 0}^{n} q^{k} + q^{n + 1}

Frage beantwortet

anonymous

anonymous

18:24 Uhr, 10.11.2009

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DANKE

!!!

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