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Beweis 10! + 1 durch 11 teilbar

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Beweis, Fakultät, Relation.

Raluca aktiv_icon

19:32 Uhr, 07.11.2022

Leider weiß ich nicht wie man die

10! + 1

durch

11

teilbar beweisen kann.
Kann mir vielleicht da weiter helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

19:48 Uhr, 07.11.2022

Hallo,

zu untersuchen ist

10!

mod 11

Nun ist

ℤ_{11}

ja ein Körper. Demnach ist

10! = \prod_{x \in ℤ_{11}^{*}} x

.

Vielleicht ist bekannt, dass im Falle, dass es in einer (endlichen, abelschen) Gruppe

G

das Produkt aller Elemente gleich dem einzigen Element der Ordnung 2 ist (falls vorhanden), sonst das neutrale Element.

Damit könnte man man das angehen.

Mfg Michael

PS: Wenn bekannt ist, dass die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist, dann kann man vielleicht

ℤ_{11}^{*} = {2^{k} ∣ 1 \leq k \leq 10}

verstehen. Dann ist

10! \equiv \prod_{k = 1}^{10} 2^{k} = 2^{\sum_{k = 1}^{10} k} = 2^{55} \equiv 2^{5} \equiv - 1

mod 11 verwenden.

HAL9000

20:01 Uhr, 07.11.2022

Kennt man als "Satz von Wilson".

Raluca aktiv_icon

20:17 Uhr, 07.11.2022

Die ganze Aufgabe lautet:

Zeigen Sie:

10! + 1

ist durch

11

teilbar.

Nichts anderes bekannt.

Ich verstehe es leider nicht, was mit der

+ 1

von

10! + 1

passiert.

Ich habe versucht es auszurechnen indem ich

10

∏

10 + 1

k = 1

geschrieben habe.
Ist das ähnlich mit deiner Antwort oder ist das was ich habe falsch?

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

LG
Ralu

michaL aktiv_icon

22:06 Uhr, 07.11.2022

Hallo,

wenn ihr den Satz von Wilson kürzlich in der Vorlesung hattet, dann kannst du den anwenden. Der besagt, dass

(p - 1)! \equiv - 1

mod

p

(oder eben so ausgedrückt:

p

ist ein Teiler von

(p - 1)! + 1

) genau dann, wenn

p

prim.

Ich nahm aber an, dass ihr den nicht hattet, sonst wäre aus meiner Sicht die Aufgabe zu einfach.

Natürlich kann man

10! + 1 = 3628801

auch einfach konkret ausrechnen. Darüber die Elferteilbarkeitsregel laufen lassen:

3 - 6 + 2 - 8 + 8 - 0 + 1 = 0

Die alternierende Quersumme ist damit durch 11 teilbar, ergo auch die Zahl.

Wenn man den Zusammenhang (zum Stoff der Uni) nicht kennt (so wie wir), ist es schwierig, das Niveau zu erraten, auf dem argumentiert werden soll.

Wenn man schon modulo hatte, dann ist die Argumentation mit der Tatsache, dass

2^{k}

für

1 \leq k \leq 10

alle Reste mod 11 durchläuft, recht einfach. Jedenfalls ist damit die Aufgabe auch dann noch machbar, wenn man keinen TR verwenden darf.

10!

wird ohne TR schon blöd.

Vielleicht magst du uns verraten, was in der Veranstaltung, zu der ihr diese Aufgabe bekommen habt, alles so Thema war?!

Mfg Michael

PS: Ach, ja, ein Scan der Originalaufgabenstellung (etwa der Ausschnitt aus dem pdf oder der Homepage, auf der die Aufgabe steht) wäre noch immer hilfreich.

HAL9000

22:10 Uhr, 07.11.2022

Man kann den Satz von Wilson

(p - 1)! \equiv - 1 mod p

natürlich allgemein beweisen. Im Spezialfall

p = 11

kann man es aber auch einfach so erledigen

10! = 1 \cdot (2 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 9) \cdot (7 \cdot 8) \cdot 10 \equiv 10 mod 11

denn jedes der Klammerpaare ergibt

\equiv 1 mod 11

. Genau genommen ist das auch die Idee eines möglichen Wilson-Beweises, hier mit konkreten Zahlenpaaren.

Raluca aktiv_icon

22:28 Uhr, 07.11.2022

Wir haben den Satz von Wilson nicht gehabt.

Anbei ein Foto von was wir über die Fakultät gelernt haben, dann haben wir die Summe und Pi— Notation gemacht, und dadurch haben wir Relationen und Abbildungen gelernt.
Weiter hatten wir Relationklassen und bei Rechenregeln fu ̈r das Rechnen in Restklassen haben wir kurz Modulo angesprochen.
Außerdem kenne ich den Begriff vom Programmieren.

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

Raluca aktiv_icon

22:28 Uhr, 07.11.2022

Vielen Dank für die Hilfe!

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