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Beweis Additionssatz Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Additionssatz, Beweis, Binomialkoeffizient

E-Techniker aktiv_icon

21:51 Uhr, 12.10.2009

Hallo miteinander,

Ich sitze hier vor dem Beweis des Additionssatzes für Binomialkoeffizienten und verstehe einfach einen Schritt nicht!

$(\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{k! (n - 1 - k)!} + \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} = \frac{(n - 1)! (n - k + k)}{k! (n - k)!} = \frac{n!}{k! (n - k)!} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$

Ich verstehe nicht wie man von dem Ausdruck nach dem ersten Gleichheitszeichen auf den Ausdruck nach dem zweiten Gleichheitszeichen kommt.

Anscheinend werden die Brüche ja gleichnamig gemacht $o$ .ä. - aber ich erkenne nicht den Zusammenhang. Könnte mir das jemand ausführlicher darstellen, damit ich diesen Schritt nachvollziehen kann??

Herzlichen Dank für eure Mühen!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

g-zen aktiv_icon

22:15 Uhr, 12.10.2009

man muss die Brüche gleichnamig machen. dazu wird der linke mit $(n - k)$ erweitert, der rechte mit $k$ .
Hat man alles auf einen Bruch geschrieben, kann $(n - 1)!$ ausgeklammert werden.

Wurzel23 aktiv_icon

22:18 Uhr, 12.10.2009

Hallo Techniker

du musst die Fakultäten in den Klammern richtig anpassen.

$(\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{k! (n - k - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{k (k - 1)! (n - k - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k) (n - k - 1)!} = (\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!}) (\frac{1}{k} + \frac{1}{n - k}) = (\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!}) (\frac{n - k}{k (n - k)} + \frac{k}{k (n - k)}) = = (\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!}) (\frac{n - k + k}{k (n - k)}) = (\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k - 1)!}) (\frac{n}{k (n - k)}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ Ok?

Gruss Wurzel23

E-Techniker aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.10.2009

Alles klar, habs verstanden! Du hast die Rekursions-Schreibweise clever ausgenutzt - mensch, wenn man das sieht, ärgert man sich, dass man nicht selbst drauf gekommen ist!

Vielen lieben Dank für eure Hilfe!!!

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