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Beweis: Äquivalenzrelation wohldefiniert

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzrelation, Beweis, Funktion, Wohldefiniert

Fichtenelch aktiv_icon

09:08 Uhr, 09.02.2017

Hallo,
leider fehlt es mir wohl an entsprechenden Vorkenntnissen um die folgende Aufgabe zu lösen.
Ich habe nun versucht mir notwendiger Wissen anzueignen. Ich bin kein Student und habe somit keine Möglichkeit der Rücksprache mit Kommilitonen.
Evtl. findet sich hier jemand, um das notwendige Vorgehen zur Lösung zu erklären.
Beweisen Sie, ob die folgenden Aufgabe wohldefiniert ist:

Für $m \in ℕ,$ sei eine Funktion $f : ℤ_{m} \to ℤ_{m}$ durch $(f [x]) = [x + x^{2}]$ gegeben.

Statt Vermutungen anzustellen hier mein Vorwissen, von dem ich vermute, es könnte mir weiterhelfen.

$ℤ_{m}$ ist die Menge der Äquivalenzklassen der Relation $x = y mod m$ mit $x, y \in ℤ$ (laut literarischer Quelle)
$f ([x])$ ist die die Funktion einer Äquivalenzklasse mit dem Repräsentanten $x$ .
$f ([x]) = y$ und $f ([x]) =$ $[$ x+x²]. Demnach gilt $y =$ $[$ x+x²].
Zu zeigen ist, dass die Definition nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt.
Ein Repräsentant ist ein Element, das als Vertreter einer Äquivalenzklasse verwendet wird.
Sollte ich mehr themenbezogenes Wissen besitzen, ist es mir nicht bewusst.
Ich suche jemanden, um mir die Lösung $(v . a$ . den Lösungsweg) detailiert zu erklären,in der Hoffnung nach diese Erklärung die folgenden (hier nicht angegebenen) Aufgaben selbst lösen zu konnen.

Ich freue mich über jede Hilfestellung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

09:31 Uhr, 09.02.2017

Hallo,

das Problem der Wohldefiniertheit ist Dir klar?

Also $z . B$ . wenn wir $m = 5$ nehmen, dann ist $[3] = [8]$ . Also sollte die Definiton auch $f ([3]) = f ([8])$ liefern.

Tut sie auch: $f ([3]) = [3 + 9] = [12] = [2]$
Und: $f ([8])) = [8 + 64] = [72] = [2]$

Jetzt allgemein: $x = y mod m$ bedeutet: Existiert $k \in ℤ$ mit $y = x + k \cdot m$

Wenn also $x = y mod m$ ist, dann gilt:

$f ([y]) = [y + y^{2}] = [x + k \cdot m + {(x + k \cdot m)}^{2}] = [x + k \cdot m + x^{2} + 2 \cdot x \cdot k \cdot m + k^{2} \cdot m^{2}]$
$= [x + x^{2} + (k + 2 \cdot k \cdot x + k^{2} \cdot m) \cdot m] = [x + x^{2}]$
weil $(k + 2 \cdot k \cdot x + k^{2} \cdot m) \in ℤ$

Gruß pwm

Fichtenelch aktiv_icon

09:18 Uhr, 10.02.2017

Hallo,

das Problem der Wohldefiniertheit ist Dir klar?

(Ich denke schon: es gilt zu zeigen, dass eine Aussage unabhängig von der Wahl des
Repräsentanten immer wahr ist?!)

Jetzt allgemein: x=ymodm bedeutet: Existiert k∈ℤ mit y=x+k⋅m

Wenn also x=ymodm ist, dann gilt:

f( $[$ y])=[y+y2]=[x+k⋅m+(x+k⋅m)2]=[x+k⋅m+x2+2⋅x⋅k⋅m+k2⋅m2]

( Diesen Schritt verstehe ich nicht wirklich.
Es gilt doch zu zeigen, dass $f ([x]) = [x + x^{2}],$ wiso muss man zu $f ([y]) = [y + y^{2}]$
wechseln? Ich sehe natürlich, dass dies zu $x + x^{2}$ führt, aber warum wurde damit dann
tatsächlich f( $[$ x])gezeigt. Ich hoffe ich habe meine Zweifel verständlich
ausgedrückt, anders weis ich mein Verständnissproblem nicht auszudrücken)

= $[$ x+x2+(k+2⋅k⋅x+k2⋅m)⋅m]=[x+x2]
weil (k+2⋅k⋅x+k2⋅m)∈ℤ

Danke Dir für deine Hilfe

pwmeyer aktiv_icon

10:15 Uhr, 10.02.2017

Hallo,

für die Wohldefiniertheit ist doch zu zeigen:

$x = y mod m \Rightarrow f ([x]) = f ([y])$

Gruß pwm

Fichtenelch aktiv_icon

08:54 Uhr, 11.02.2017

Vielen Dank für deine Unterstützung

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