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Beweis Assoziativgesetz der Addition in ℂ

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: abelsche Gruppe, Beweis, Körper

cpu-core aktiv_icon

22:27 Uhr, 15.05.2017

Guten Tag OnlineMathe Community,

ich versuche zurzeit das Assoziativgesetz bzg. der Addition in

ℂ

zu beweisen.

Mein Beweis:

S e i

z \in ℂ

u n d

z := a + b i

z u

z e i g e n :

(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})

= ((a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i)) + a_{3} + b_{3} i = a_{1} + b_{1} i + ((a_{2} + b_{2} i) + (a 3 + b_{3} i))

= (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} i) + a_{3} + b_{3} i = a_{1} + b_{1} i + (a_{2} a_{3} + b_{2} b_{3} i)

= a_{1} a_{2} a_{3} + b_{1} b_{2} b_{3} i = a_{1} a_{2} a_{3} + b_{1} b_{2} b_{3} i

= (z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})

q . e . d

Oder ist meine Vorgehensweise falsch?
Ich bedanke mich im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

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ledum aktiv_icon

12:51 Uhr, 16.05.2017

Hallo
so wie es da steht ist es falsch, du hast plötzlich Multiplikationszeichen statt

+

stehen
schreib erst

(z_{1} + z_{2}) + z_{3}

auf
dann

z_{1} + (z_{2} + z_{3})

dann stelle fest dass die Ergebnisse gleich sind.
Gruß ledum

cpu-core aktiv_icon

12:58 Uhr, 16.05.2017

Vielen Dank!

Ich hätte eine Frage.

Wenn ich die Körperaxiome nachweisen muss, sagen wir das Kommutativgesetz der Addition, muss ich dann mittels der restlichen Körperaxiome das Kommutativgesetz beweisen oder ist es nur einsetzten in das Axiom und ausrechnen?
Bin Anfänger in Sachen Beweise.
Ich kann doch nicht die restlichen Körperaxiome nutzen um die Kommutativität zu beweisen ,da diese selber ja noch nicht bewiesen sind, oder ist es ein Denkfehler meinerseits?
Ich brauche ja irgendwie Voraussetzungen um etwas beweisen zu können.

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

ledum aktiv_icon

13:14 Uhr, 16.05.2017

Hallo
du darfst nur verwenden, wie Addition und Multiplikation definiert sind. Wo du die "restlichen" Körperaxiome einsetzen willst ist mir unklar, die musst du eins nach dem anderen zeigen. deshalb versteh ich deine Frage nicht.
Gruß ledum

cpu-core aktiv_icon

13:37 Uhr, 16.05.2017

Also wenn es nur das Anwenden der Definition der Addition und der Multiplikation ist, dann ist der Vorgang nur normales ausrechnen?

So richtig?

\underline{V o r r a u s e t z u n g e n}

D e f i n i t i o n

d e r

k o m p l e x e n

A d d i t i o n :

z_{1} + z_{2} = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i

D e f i n i t i o n

d e r

k o m p l e x e n

M u l t i p l i k a t i o n :

z_{1} * z_{2} = (a_{1} + b_{1} * i) * (a_{2} + b_{2} * i)

\underline{B e w e i s}

S e i

z \in ℂ

u n d

z := a + b i

z u

z e i g e n :

(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})

(z_{1} + z_{2}) + z_{3} = z_{1} + (z_{2} + z_{3})

= ((a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i)) + a_{3} + b_{3} i = a_{1} + b_{1} i + ((a_{2} + b_{2} i) + (a_{3} + b_{3} i))

= (a_{1} + a_{2} + b_{1} + b_{2} i) + a_{3} + b_{3} i = a_{1} + b_{1} i + (a_{2} + a_{3} + b_{2} + b_{3} i)

= a_{1} + a_{2} + a_{3} + b_{1} + b_{2} + b_{3} i = a_{1} + a_{2} + a_{3} + b_{1} + b_{2} + b_{3} i

■

Oder ist es falsch?

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

ledum aktiv_icon

15:30 Uhr, 16.05.2017

Hallo
es ist nicht wirklich falsch, aber du formst die Behauptung um,

d . h

sie wird benutzt. besser getrennt rechnen :

(z_{1} + z_{2}) + z 3 = ...

.
und

z_{1} + (z_{2} + z_{3}) = . .

.
dann feststellen, dass das Ergebnis gleich ist.
Gruß ledum

cpu-core aktiv_icon

15:31 Uhr, 16.05.2017

Habe es nun verstanden :-)

Ich bedanke mich!

Mit freundlichen Grüßen
CPU-Core

ledum aktiv_icon

12:21 Uhr, 17.05.2017

Hallo
bitte abhaken
Gruß ledum

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