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Beweis Binomialkoeffizient Rechenregel

Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Binomialkoeffizient, Rechenregel, Vollständig Induktion

anonymous

02:14 Uhr, 24.02.2012

Hallo ihr Lieben,

sitze mal wieder da und raffe nichts. Meine Aufgabe ist es folgende Rechenregel zu beweisen.

$(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix})$

$n, k \in N k < n$

Ich habe schon mehrfach versucht von der linken Seite der Gleichung durch Umformung/Kürzen etc. auf direktem Wege zur rechten Seite zu gelangen, aber irgendetwas sehe ich nicht oder mache falsch. Vielleicht habt ihr eine Idee wie man die Rechenregel am besten beweist.

Hier mein unvollständiger Ansatz der Umformung von der linken Seite:

$(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) = \frac{(n + 1)!}{((n + 1) - (k + 1))! - (k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{(n - k)! - (k + 1)!} = \frac{n! \cdot (n + 1)}{(n - k)! - k! \cdot (k + 1)} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot \frac{(n + 1)}{(k + 1)}$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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06:28 Uhr, 24.02.2012

Dahinter steckt die aus dem Pascalschen Dreieck bekannte Addition zweier Koeffizienten aus der n-ten Zeile (oberste hat die Nummer

0),

die zusammen den unter und zwischen ihnen liegenden Koeffizienten der n+1-ten Zeile ergeben. Der Beweis wird meistens mit Hilfe der Darstellung über Fakultäten geführt.

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

. Diese Darstellung wird für beide Summanden der rechten Seite und für die Summe angewandt. Dann heißt die Aufgabe

\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)! \cdot (n - k - 1)!}

. Jetzt kommt die Bruchrechnung ins Spiel, verbunden mit der Darstellung der Fakultäten.

(k + 1)!

ist ja

(k + 1) \cdot k!

und

(n - k)!

ist nach der gleichen Regel

(n - k) \cdot (n - k - 1)!

. Daher ist der Hauptnenner

(k + 1)! \cdot (n - k)!,

der erste Bruch wird also mit

(k + 1)

erweitert, der zweite mit

(n - k),

und man erhält

\frac{(k + 1) \cdot n! + (n - k) \cdot n!}{(k + 1)! \cdot (n - k)!}

. Jetzt im Zähler

n!

ausklammern, ergibt

(k + 1 + n - k) \cdot n! = (n + 1) \cdot n! = (n + 1)!

. Insgesamt heißt der Bruch jetzt

\frac{(n + 1)!}{(k + 1)! \cdot [(n + 1) - (k + 1)]!}

. Der zweite Faktor im Nenner ist nämlich der gleiche wie

(n - k)!,

da sich die beiden Einsen wegheben, in der längeren Form erkennt man aber die Übereinstimmung mit

(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

besser.

anonymous

22:35 Uhr, 02.03.2012

Super, vielen Dank!

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