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Beweis Einheitsintervall I ist überabzählbar

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Einheitsintervall, Überabzählbarkeit von Mengen

 
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anonymous

anonymous

19:03 Uhr, 27.10.2009

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Ich soll zeigen, dass das Einheitsintervall I:={x el ℝ:0≤x≤1} überabzählbar ist.
Ich soll annehmen es sei abzählbar und dies zum Widerspruch führen:
I={ x1,x2,...,xn,...}
xn=0,xn1xn2... x_ni... wobei jedes x_ni eine Ziffer 0,...,9 bezeichnet

ich habe keine Ahnung wie das gehen soll. In der Aufgabe steht noch dass man
yn:=9-xnn aus den Diagonalelemnten xnn gebildeten
Dezimalbruch y=0,y1y2y3...yn... . betrachten soll.

Wie löst man so eine Aufgabe ?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Rosexxx

Rosexxx aktiv_icon

19:10 Uhr, 27.10.2009

Antworten
Schau doch mal hier
http//de.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument
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michaL

michaL aktiv_icon

19:14 Uhr, 27.10.2009

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Hallo Luca,

steht doch da.

Das einzige, was jetzt noch zu tun bleibt, ist zu verifizieren, dass y NICHT in der (ja eigentlich vollständigen) Aufzählung aller reellen Zahlen enthalten ist. Das macht man einfach, indem man feststellt, dass das y (mindestens) an der nten Stelle von xn abweicht, weil die nte Stelle von xn gerade xnn ist, die von y aber yn=Def.9-xnn.

Also ist die Ahnname, es gibt eine vollständige, abzählbare Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 falsch. Eine vollständige Liste muss also überabzählbar sein.

Mfg Michael
anonymous

anonymous

19:34 Uhr, 27.10.2009

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Ok, danke. Aber gibt es dazu auch eine mathematische schreibweise ?
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michaL

michaL aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.10.2009

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Hallo Luca,

für einen Beweis ist es mathematisch genug.

Mfg Michael
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