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Beweis (Euler): Unedlichekeit von Primzahlen

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Beweis, euler, Primzahl, Unedlichkeit

flowerpower1234 aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.08.2013

Hi zusammen,

ich gehe gerade mein Skript für Zahlentheorie durch, dabei bin ich beim Beweis für die "Unendlichkeit von Primzahlen" von Euler hängengeblieben, wir haben den folgendermaßen notiert:

Es gibt unendliche viele Primzahlen.

Beweis: Angenommen nicht. Sei

p_{1}, p_{2}, ..., p_{r}

vollständige Liste der Primzahlen. Nach der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jede Zahl

n \geq 1

eindeutig schreiben als

n = {(p_{1})}^{m_{1}} \cdot {(p_{2})}^{m_{2}} \cdot ... {(p_{r})}^{m_{r}}

für gewisse

m_{1}, ..., m_{r} \geq 0

\sum_{n \geq 1}^{\infty} (\frac{1}{n}) = \sum_{m_{1}, ..., m_{r}}^{\infty} \frac{1}{{(p_{1})}^{m_{1}} \cdot ... \cdot {(p_{r})}^{m_{r}}}

= soll gleich

= \prod_{i = 1}^{r} (\sum_{m_{i} = 0}^{\infty} \frac{1}{{(p_{i})}^{m_{i}}})

= \prod_{i = 1}^{r} (\sum_{m_{i} = 0}^{\infty} {(\frac{1}{p_{i}})}^{m_{i}})

= \prod_{i = 1}^{r} (\sum_{m_{i} = 0}^{\infty} \frac{1}{{(p_{i})}^{m_{i}}})

= \prod_{i = 1}^{r} \frac{1}{1 - (\frac{1}{p_{i}})} \in ℝ

Widerspruch

Nun meine Fragen:

Den Anfang verstehe ich noch. Man betrachtet die divergente harmonische Reihe und verwendet die eindeutige Primfaktorzerlegung. Damit wäre ja die ersten zwei "gleich" erklärt. Allerdings verstehe ich dieses "soll gleich-Gleichheitszeichen" nicht ganz...
Danach hab ich das so verstanden, dass einfach die geometrische Reihe genutzt wurde, diese kovergiert ja. Und das steht doch im Widerspruch zur Divergenz der harmonischen Reihe...

Könnte mir dazu vielleicht jemand die Beweisidee erläutern? Danke schon mal !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:37 Uhr, 14.08.2013

Hallo Flowerpower
Nachdem so lange niemand geantwortet hat, will ich es mal probieren.

Vorweg: Den Beweis in dieser Form kenne ich auch nicht, SORRY.
Aber das sieht so ähnlich aus, wie der Beweis, den ich kenne, und der in so manchen Foren öfters auftaucht.
Darf ich den Beweis in der Form beschreiben, wie er mir geläufig und verständlich ist?:

Angenommen
p_1, p_2, p_3, ..., p_r
sei die vollständige Liste der Primzahlen.
D.h. p_r ist die größte Primzahl.
Dann kann man eine neue (natürliche) Zahl b errechnen, gemäß der Formel:
b= (p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_r)+1
Untersuchen wir diese Zahl b dahingehend, ob sie eine Primzahl ist.
Dazu wird b durch sämtliche Primzahlen p_i geteilt und untersucht, ob ein Rest übrigbleibt.
Wir sehen sehr schnell, dass wenn man b durch die Primzahlen p_i teilt, dass stets der Rest 1 übrigbleibt.
Da b also keine natürliche Zahl findet, durch die sie restlos teilbar ist, ist b selbst auch wieder eine Primzahl.
Offensichtlich ist aber b größer als p_r.
Das ist ein Widerspruch, denn wir hatten ja angenommen, p_r sei dei größtmögliche Primzahl.
Folglich muss die Annahme, es gäbe eine vollständige Liste der Primzahlen, falsch sein.
In anderen Worten, es gibt keine größte Primzahl und keine abgeschlossene Liste aller Primzahlen.

Wie gesagt, ich kenne den Beweis auf die von mir beschriebene Weise.
Die von dir gepostete Form des Beweises sieht ein wenig anders aus. Und ehrlich gesagt, verstehe ich sie auch nicht ganz.
Es ist hier von Brüchen, statt von Produkten die Rede.
Die "+1" in meiner Formel findet mutmaßlich ihren Gegenpart in der "1-..." in deiner Herleitung.
Ich ahne, dass der Beweis im Kern auf das Gleiche hinausläuft.
Aber, ich ahne eben nur...

Vielleicht findet sich noch ein klügerer Kopf, der besser verstehen und erklären kann.

Stephan4

14:30 Uhr, 14.08.2013

Vielleicht kann man so herangehen:
Angenommen, es gibt endlich viele Primzahlen.
Schreiben wir mal die Zeile, wo Widerspruch steht und die davor auf:

(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...) \cdot

(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + ...) \cdot

(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + ...) \cdot

(1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + ...) = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} =

Eine endliche Zahl, da die Primzahlen ja auch endlich sind.

Dieses Produkt mit den Summen oben ist eine Summe der Kehrwerte aller möglichen Primfaktorenzerlegungen.
Ein Summand blind herausgegriffen, wäre zum Beispiel

\frac{1}{2^{4} \cdot 5^{7} \cdot 7^{3}} = 156408

Alle diese Primfaktorenzerlegungen stehen für alle Zahlen.
Nur, die Summe der Kehrwerte aller Zahlen ist unendlich.
Wir kommen also mit der Auflistung oben, wo wir bis 7 gegangen sind nicht aus, auch nicht bis

11

oder

97

. Das Ergebnis wäre immer eine endliche Zahl.

Stephan4

07:15 Uhr, 16.08.2013

Was sagst Du dazu, flowerpower?
Kannst Du damit was anfangen?
Ich habe mich wirklich gerne mit diesem Thema auseinandergesetzt. Danke, Du hast mein Leben bereichert.

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