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Beweis Folge konvergiert gegen a mit |a_n -a|<=5E

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, konvergente Folge, Konvergenz

Lauch aktiv_icon

22:32 Uhr, 17.03.2025

Sei

a \in ℝ

. Die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

habe folgende Eigenschaft: Für jedes

ε > 0

existiert ein

M_{ε} \in ℕ

, sodass

∣ a_{n} - a ∣ \leq 5 ε

für alle

n \geq M_{ε}

. Zu zeigen ist, dass

(a_{n})_{n \in ℕ}

gegen a konvergiert.

Ich weiß gar nicht wie ich da überhaupt anfangen soll.
Bitte um Hilfe. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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michaL aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.03.2025

Hallo,

es kommt schließlich darauf an, wie ihr diese Konvergenz definiert habt bzw. welche Ergebnisse ihr diesbezüglich schon hattet.

Üblicherweise heißt eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

(genau dann) konvergent gegen

a

, wenn gilt: Für jedes

ε > 0

exisitert ein (muss nicht eindeutig sein)

N_{ε} \in ℕ

, sodass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

für alle

n \geq N_{ε}

Wenn ihr so etwas als Definition oder Satz (oä) hattet, so bit du nicht weit weg. Wir müssen nur den Faktor 5 vor dem

ε

irgendwie eliminieren.

Und das könnte so gehen:
Sei

ε > 0

.
Wir müssen eine

N_{ε}

finden, sodass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

für alle

n \geq N_{ε}

gilt.

Dazu definieren wir als "Umweg" ein

ε ʹ := \frac{1}{5} ε

. Wenn

ε > 0

gilt, so auch

ε ʹ > 0

und umgekehrt.

Nun definieren wir

N_{ε} := M_{ε ʹ}

.

Damit erhalten wir, dass

∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ

gilt, für alle

n \geq M_{ε ʹ} = N_{ε}

.

Es gilt dann also wie gewünscht:

∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ = 5 \cdot \frac{1}{5} ε = ε

für alle

n \geq N_{ε}

Mfg Michael

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