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Beweis Folge konvergiert gegen a mit |a_n -a|<=5E

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, konvergente Folge, Konvergenz

Lauch aktiv_icon

22:32 Uhr, 17.03.2025

Sei

a \in ℝ

. Die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

habe folgende Eigenschaft: Für jedes

ε > 0

existiert ein

M_{ε} \in ℕ

, sodass

∣ a_{n} - a ∣ \leq 5 ε

für alle

n \geq M_{ε}

. Zu zeigen ist, dass

(a_{n})_{n \in ℕ}

gegen a konvergiert.

Ich weiß gar nicht wie ich da überhaupt anfangen soll.
Bitte um Hilfe. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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michaL aktiv_icon

23:08 Uhr, 17.03.2025

Hallo,

es kommt schließlich darauf an, wie ihr diese Konvergenz definiert habt bzw. welche Ergebnisse ihr diesbezüglich schon hattet.

Üblicherweise heißt eine Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

(genau dann) konvergent gegen

a

, wenn gilt: Für jedes

ε > 0

exisitert ein (muss nicht eindeutig sein)

N_{ε} \in ℕ

, sodass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

für alle

n \geq N_{ε}

Wenn ihr so etwas als Definition oder Satz (oä) hattet, so bit du nicht weit weg. Wir müssen nur den Faktor 5 vor dem

ε

irgendwie eliminieren.

Und das könnte so gehen:
Sei

ε > 0

.
Wir müssen eine

N_{ε}

finden, sodass

∣ a_{n} - a ∣ < ε

für alle

n \geq N_{ε}

gilt.

Dazu definieren wir als "Umweg" ein

ε ʹ := \frac{1}{5} ε

. Wenn

ε > 0

gilt, so auch

ε ʹ > 0

und umgekehrt.

Nun definieren wir

N_{ε} := M_{ε ʹ}

.

Damit erhalten wir, dass

∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ

gilt, für alle

n \geq M_{ε ʹ} = N_{ε}

.

Es gilt dann also wie gewünscht:

∣ a_{n} - a ∣ < 5 ε ʹ = 5 \cdot \frac{1}{5} ε = ε

für alle

n \geq N_{ε}

Mfg Michael

helendam aktiv_icon

03:15 Uhr, 19.03.2025

Du sollst zeigen, dass die Folge \(

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

\) gegen \( a \) konvergiert, also:

\

[

\forall ɛ > 0

\exists M \in ℕ

\; \text

{

sodass} \;

\forall n \geq M : | a_{n} - a | < ɛ

.
\

]

### Schritt 1: Verständnis der gegebenen Eigenschaft
Es wird bereits angenommen, dass für jedes \(

ɛ > 0

\) ein \(

M_{ɛ} \in ℕ

\) existiert, sodass:

\

[

| a_{n} - a | \leq 5 ɛ

\text

{

für alle

} n \geq M_{ɛ}

.
\

]

Das bedeutet, dass die Differenz \(

| a_{n} - a |

\) zwar nicht unbedingt kleiner als \(

ɛ

\) ist, aber immer kleiner oder gleich \(

5 ɛ

\).

### Schritt 2: Wahl eines neuen \(\varepsilon'\)
Da die Konvergenzdefinition für *jedes* \(

ɛ > 0

\) gilt, wählen wir stattdessen \(

ɛ' = \frac{ɛ}{5}

\). Nach Voraussetzung existiert dann ein \(

M_{ɛ'}

\), sodass:

\

[

| a_{n} - a | \leq 5 ɛ' = 5 \cdot \frac{ɛ}{5} = ɛ

\text

{

für alle

} n \geq M_{ɛ'}

.
\

]

### Schritt 3: Konvergenz gezeigt
Damit erfüllt die Folge genau die Definition der Konvergenz: Für jedes \(

ɛ > 0

\) existiert ein \(

M = M_{ɛ'}

\), sodass für alle \(

n \geq M

\) gilt:

\

[

| a_{n} - a | < ɛ

.
\

]

Das zeigt, dass \(

(a_{n})

\) gegen \( a \) konvergiert.

**Fazit:** Die gegebene Eigenschaft ist nur eine leicht veränderte Form der Konvergenzdefinition, sodass man durch die Wahl \(

ɛ' = \frac{ɛ}{5}

\) leicht die gewünschte Konvergenz zeigen slithergame.io kann.

wordlesolver aktiv_icon

08:47 Uhr, 31.03.2025

Proof that the sequence converges to
a
a with
∣
a

n

−
a
∣
≤
5

E

∣a

n

−a∣≤5E. This result can be rigorously verified by applying the definition of limits and inequality bounds. For more mathematical analysis techniques, visit

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