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Beweis Formel, Gerade schneiden eine Ebene

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Tags: Beweis, Sonstig

chilldown18 aktiv_icon

16:50 Uhr, 03.11.2020

Hallo,

Meine Aufgabe ist:
In einer Ebene seien

n

verschiedene Geraden gegeben, von denen keine zwei zueinander parallel sind und keine drei durch einen Punkt gehen. In wieviele Teile wird hierdurch die Ebene zerlegt?

a)

Beantworte dies für

n = 1,2,3,4,5

\to

Das hab ich schon gemacht für

1 = 2

Teile usw.

b)

Stelle eine allgemeine Formel für die gesuchte Anzahl bei beliebigem

n

Element von

N

auf.

c)

Beweise, dass die gesuchte Anzahl der Teile durch die gefundene Formel angegeben wird.

Zu

b)

Ich dachte hier zuerst an die Gaußsche Summenformel, aber bisschen abgeändert. Mit der Summenformal kann man ja die Summe der Geraden von

n

bis

n + 1

berechnen.
Mein Ansatz:

A (n) : 1 + (1 + ... + n) = 1 +

(((n*(n+1))/2)=(2+n²+n)/2

Ich hab hier 1 addiert, weil eine Gerade die Ebene ja in 2 Teile schneidet...

c)

Bei

c)

habe ich dann die vollständige Induktion angewendet.

IA:

n = 1

(2+1²+1)/2=2

IV: Es sein

n

Element aus

N

für die

A (n)

gilt.

IB: 1+(1+...+n)+(n+1)=(2+(n+1)²+(n+1))/2=((n³+3n+4)/2)

Beweis:

1 + (1 + ... + n) + (n + 1) =

(IV anwenden) ((2+n²+n)/2)+(n+1)=(2+n²+n+2n+2)/2=(n²+3n+4)/2

Ist diese Aufgabe damit erledigt? Also ist dies ein korrekter Beweis oder darf man das nicht so machen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

20:02 Uhr, 03.11.2020

Hallo
ich sehe nicht wie du

A (n)

begründest? du kannst es annehmen, weil du es ja in

a)

für

n = 1

bis 5 gezeigt hast.
aber im Induktionsschrit addierst du einfach

n + 1

warum? die Begründung, warum bei einer zusätzlichen Geraden

+ 1

zusätzliche Flächenstücke entstehen sehe ich nicht, du hast eigentlich nur die Summenformel für

\sum n

bewiesen.
Gruß ledum

Roman-22

20:34 Uhr, 03.11.2020

Grundsätzlich stimmt die Formel, die du gefunden hast. Allerdings frage ich mich, wozu du sie mithilfe von vollständiger Induktion beweisen möchtest, wenn du ohnedies die Gauß'sche Summenformel verwenden darfst.

In jedem Fall fehlt aber in deinen Ausführungen eine verbale Begründung dafür, warum beim Übergang von

n

n + 1

Geraden, genau

n + 1

neue Flächenteile dazu kommen. Also eine Begründung dafür, warum die neue Gerade genau

n + 1

ursprüngliche Flächenteile durchschneidet. Dafür ist wesentlich, dass laut Angabe keine zwei Geraden parallel und keine drei Geraden kopunktal sind und kann zB über die Anzahl der Schnittpunkte der alten

n

Geraden mit der neuen Geraden erklärt werden.

chilldown18 aktiv_icon

21:21 Uhr, 03.11.2020

Mhhh naja also auf die Formel is mir eingefallen, weil ich die Gaußsche Summenformel in einem anderen Beispiel beweisen musste und durch ausprobieren bin ich noch darauf gekommen, dass man

+ 1

muss.

Also habe ich ja grundsätzlich

A (n)

als wahr angenommen, obwohl ich dies ja eigentlich erst beweisen soll oder?
Aber hab ich das jetzt richtig verstanden, dass man hier garnicht die Induktion verwenden muss?

ledum aktiv_icon

21:53 Uhr, 03.11.2020

Hallo
doch man muss Induktion benutzen, aber begründen warum bei einer zusätzlichen Linie also der

n + 1

ten

n + 1

zusätzliche Teilflächen entstehen, also das addieren von

n + 1

muss geometrisch begründet werden.
ledum

chilldown18 aktiv_icon

22:06 Uhr, 03.11.2020

Okey ich schau mir die Aufgabe jz schon länga an und hab das jz so versucht:

Zuerst hab ich wieder den IA:

A (1)

ist wahr (also ich hoffe das muss man machen bzw darf man machen)

IV: steht ja dann in der Angabe, also das (In einer Ebene seien

n

verschiedene Geraden gegeben, von denen keine zwei zueinander parallel sind und keine drei durch einen Punkt gehen.

IS:
Die Vermutung

1 + (1 + ... + n)

=(2+n²+n)/2 gelte für ein

n

.
Sind

n + 1

verschiedene Geraden gegeben und entfernt man eine Gerade, dann erhält man

n

Geraden mit

1 + (1 + ... + n)

Teilen. Fügt man die entfernte Gerade wieder hinzu, dann wird diese laut der IV von jeder der n-Geraden an einem Punkt geschnitten. Dieser Punkt ist noch kein Schnittpunkt. Dadurch wird die Gerade in

n + 1

Stücke zerlegt. Diese Geraden zerlegen je einen Ebenenteil in 2 Teile. Dadurch erhöht sich die Anzahl der Ebenenteile um

n + 1

.
So erhält man die Anzahl

A (n + 1) :

1+(1+...+n+1)=(n+(n+1)²+(n+1))/2.

Ich hab mir Aufgabe

a)

aufgezeichnet und versucht mithilfe von der Skizze dies leichter zu verstehen und den IS zu formulieren. Kann das so stimmen? Da Roman-22 meinte verbal hab ichs jetz so versucht.

Roman-22

03:02 Uhr, 04.11.2020

>

Aber hab ich das jetzt richtig verstanden, dass man hier garnicht die Induktion verwenden muss?
Ja, das hast du richtig verstanden. Vorausgesetzt, es steht nicht explizit in der Angabe, dass du Induktion verwenden sollst und vorausgesetzt, du darfst die Gauß-Formel bzw. die Summenformel für arithmetische Reihen als bekannt voraussetzen und verwenden.

Aber auch dann musst du verbal begründen, warum mit der n-ten Geraden auch

n

neue Gebiete dazu kommen, also warum

A (n) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

gilt.
Wenn du das begründest, kannst du direkt Gauß verwenden und damit deine Formel herleiten, was du ja auch gemacht hast.
Die Begründung, warum mit der n+1-ten Geraden auch

n + 1

neue Gebiete dazu kommen, hast du ja jetzt in deiner letzten Antwort geliefert - teilweise vl. etwas unglücklich formuliert. Warum beginnst du mit

n + 1

Geraden, nimmst eine weg und gibst sie gleich wieder dazu?
Du gehst von

n

Geraden aus und fügst nun eine weitere dazu. Laut Angabe (nicht laut IV!) schneidet diese neue Gerade jede der ursprünglichen

n

Geraden in einem (neuen) Punkt. Dadurch wird die neue Gerade in

n - 1

Teilstrecken und 2 Strahlen zerlegt, von denen jede(r) ein vorhandenes Gebiet in zwei Teile zerlegt, wodurch

n + 1

neue Gebiete entstehen.

Auch wenn Induktion nicht zwingend nötig ist - da ihr aber thematisch offenbar beim Induktionsbeweis seid, kann es gut sein, dass von dir bei dieser Aufgabe auch ein solcher erwartet wird.

chilldown18 aktiv_icon

09:53 Uhr, 04.11.2020

Also ich hoff ich versteh das jz nd alles falsch und kann dem folgen. Ich muss also diese Formel aufstellen und dann nur begründen warum bei

n + 1

Geraden

n + 1

Gebiete dazu kommen?

Zuerst wieder der IA wie in meinem vorigen Kommentar.

Und die IV gibts die nicht? oder benutzt man einfach die Angabe.

Ist dies jetzt der IS:
Die Vermutung gelte für ein

n

. Seien

n

Geraden gegeben und fügt man eine weitere hinzu, erhält man

n + 1

Geraden. Laut Angabe schneidet diese neue Gerade, jede der ursprünglichen

n

Geraden in einem Punkt, der noch nicht Schnittpunkt ist. Dadurch wird die neue Gerade in

n - 1

Teile und 2 Strahlen (sind mit diesen Strahlen 2 Geraden gemeint?) zerlegt, von denen jede eine vorhandene Ebene in 2 Ebenenteile zerlegt. Dadurch erhöht sich die Anzahl der Ebenenteile um

n + 1

.
Man erhält also

A (n + 1) =

1+(1+...+n+1)=(2+(n+1)²+n+1)/2

Das ist dann die Beantwortung von

c)

?

Aja und ich habe mit

n + 1

angefangen, weil ich das zeigen wollte, aber so ist es viel logischer danke.

Roman-22

03:55 Uhr, 05.11.2020

MMn benötigt man keine Induktion und kann die Formel wie oben skizziert einfach direkt herleiten (wodurch sich dann auch ein "Beweis" erübrigt).

Allerdings ist anzunehmen, da ihr euch gerade mit dem Thema beschäftigt und auch durch die Art, wie die Aufgabe aufgebaut ist, dass man einen Induktionsbeweis von dir erwartet.

Du vermutest daher bei Aufgabe

b),

inspiriert von den bei

a)

gefundenen Zahlen und vl. in Erinnerung an die erst kürzlich durch Induktion bewiesene Gaußformel, dass

A (n) = 1 + \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n^{2} + n + 2}{2}

gilt.
Aufgabe

b)

soll wohl eher eine begründete Vermutung sein, denn würdest du die Formel mit Gauß richtig herleiten, wäre der Beweis in

c)

überflüssig. Vielleicht soll dieser Beweis aber auch nur eine Fingerübung für dich sein, um das Prinzip der vollständigen Induktion zu verinnerlichen.

Also beweist man halt in

c)

die Formel dann durch Induktion:

Induktionsanfang: Dass

N (0) = 1

oder

N (1) = 2

ist und die Formel somit für

n = 0

oder auch für

n = 1

richtig ist, ist leicht einsichtig.

Induktionsannahme( -voraussetzung): Es gelte für ein

n \in ℕ : A (n) = \frac{n^{2} + n + 2}{2}

Induktionsschritt ("Schluss von

n

auf n+1"): Es ist zu zeigen, dass

A (n + 1) = \frac{{(n + 1)}^{2} + (n + 1) + 2}{2}

gilt.
Du begründest zunächst wie oben verbal, dass die n-te Gerade

n

zusätzliche Gebiete erzeugt, die n+1-te Gerade erzeugt daher

n + 1

Gebiete zusätzlich zu den schon vorhandenen

A (n)

Gebieten.
Es gilt also

A (n + 1) = A (n) + n + 1 = (⋆)

Jetzt wird die Induktionsvoraussetzung verwendet und für

A (n)

eingesetzt

(⋆) = \frac{n^{2} + n + 2}{2} + n + 1 = (⋆ ⋆)

und jetzt solange kneten und umformen, bis die zu beweisende Aussage da steht

(⋆ ⋆) = = \frac{n^{2} + n + 2 + 2 n + 2}{2} = \frac{(n^{2} + 2 n + 1) + (n + 1) + 2}{2} = \frac{{(n + 1)}^{2} + (n + 1) + 2}{2} q . e . d

chilldown18 aktiv_icon

10:23 Uhr, 05.11.2020

Okey danke auf jeden Fall für die Hilfe.

Aber weil du schreibst man kann die Formel wie oben SKIZZIERT herleiten, ist damit die Begründung warum bei

n + 1

Geraden

n + 1

Ebenenteile dazukommen?

Eigentlich bin ich den Beweis dann ja richtig angegangen, aber die Begründung fehlte mir, was mir jetzt klar ist, weil ich einfach davon ausgegangen bin das das so ist.

HAL9000

10:52 Uhr, 05.11.2020

Das Analogon im Raum (d.h.

n

sich schneidende Ebenen in allgemeiner Lage) führt übrigens auf die Anzahl

V (n) = \frac{n (n^{2} + 5)}{6} + 1

von Raumteilgebieten, und zwar über die Rekursion

V (n + 1) = V (n) + A (n)

. Auf diese Weise kann man das dann auch noch in höhere Dimensionen treiben - wer sich das noch vorzustellen vermag. :-)

Roman-22

15:14 Uhr, 05.11.2020

> Aber weil du schreibst man kann die Formel wie oben SKIZZIERT herleiten, ist damit die Begründung warum bei n+1 Geraden n+1 Ebenenteile dazukommen?
Die Begründung benötigst du in jedem Fall.
Was ich meinte war, dass du ja die Formel konkret hergeleitet hast und du dabei die Gauß-Formel verwendet hast. Damit ist die Sache ja im Grunde bereits erledigt und es bedarf keines Beweises (wie in c) gefordert mehr).
Der in c) geforderte Beweis (sinnvollerweise dann mit Induktion durchzuführen) macht nur Sinn, wenn man ihn entweder als zusätzliche Übung sieht, oder annimmt, dass die Gauß-Formel nicht verwendet werden soll (wobei dann aber fraglich wäre, wie man unter b) eine geschlossene Formel vermuten/aufstellen sollte).

chilldown18 aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.11.2020

Mhhh okey danke für die Antwort und eure Hilfe. :-)

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