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Beweis Gleichmächtigkeit

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Tags: Beweis, gleichmächtigkeit, Sonstiges

denden3 aktiv_icon

14:08 Uhr, 08.07.2014

Hi, ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nich weiß wie ich vorgehen soll. Könnte mir jmd helfen?

Beweisen Sie, dass die Menge 3IN (positive Vielfache von $3)$ gleichmächtig zu der Menge $4 ℤ$ ist. Geben Sie Name, Definitionsmenge, Zielmenge, Funktionsvorschrift an und weisen Sie die Bijektivität der Funktion durch einen formalen Beweis nach.

Ich habe mal angefangen mit
$f :$ 3IN $\to 4 ℤ$
${n \in ℕ | \exists k \in ℕ : n = 3 k}$
${z \in ℤ | \exists k \in ℤ : z = 4 k}$

ist das bisher der richtige Ansatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

15:21 Uhr, 08.07.2014

Hallo,

du hast $3 ℕ$ und $4 ℤ$ korrekt formalisiert.
Aber von einem Ansatz scheinst du mir weit entfernt zu sein. Du sollst doch eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen angeben und den Nachweis der Bijektivität führen?!

Mfg Michael

denden3 aktiv_icon

10:13 Uhr, 09.07.2014

Um die Bijektivität beweisen zu können muss ich zeigen, dass die Abbildung inj. und surj. ist, richtig? Wie geh ich da am besten vor?

anonymous

10:16 Uhr, 09.07.2014

Um die Bijektivität einer Abbildung zu zeigen, sollte man erst einmal die Abbildung angeben, von der man dies zeigen möchte. Dazu schon eine Idee?

denden3 aktiv_icon

10:21 Uhr, 09.07.2014

Nein leider nicht

anonymous

11:14 Uhr, 09.07.2014

Dann gebe ich mal einen Denkanstoß:

$| 3 ℕ | = | ℕ |$
$| ℕ | = | ℤ |$
$| ℤ | = | 4 ℤ |$

Es gibt (bijektive) Abbildungen
$p : ℕ \to 3 ℕ$
$r : ℕ \to ℤ$
$q : ℤ \to 4 ℤ$
die du dir evtl. einfacher Überlegen kannst, als direkt eine (bijektive) ABbildung $f : 3 ℕ \to 4 ℤ$ .

Dann erhälst du eine entsprechende Abbildung durch:
$f := q \circ r \circ p^{- 1}$

Ideen für entsprechende Abbildungen $p, q, r$ ?

denden3 aktiv_icon

12:14 Uhr, 09.07.2014

Danke kenkyu für den Denkanstoß

$p : ℕ \to 3 ℕ,$ also $p : ℕ \to {n \in ℕ | \exists k \in ℕ : n = 3 k}, n \to 3 n$
$r : ℕ \to ℤ, n \to {\frac{n - 1}{2},$ wenn $n$ ungerade $- (\frac{n}{2}),$ wenn $n$ gerade
$q : ℤ \to 4 ℤ, q : ℤ \to {z \in ℤ | \exists k \in ℤ : z = 4 k}, z \to 4 z$

bin ich auf dem richtigen Weg?

anonymous

12:21 Uhr, 09.07.2014

Ja, das sieht doch gut aus.

Kannst du nun Funktionsgleichung $f (n) = ...$ für $f = q \circ r \circ p^{- 1}$ angeben? Das ist ja (leider) verlangt.

denden3 aktiv_icon

12:34 Uhr, 09.07.2014

Ich glaube leider nicht, dass das stimmt.. ich hab jetzt $(\frac{2}{3} n - \frac{2}{3}),$ wenn $n$ ungerade und $- n$ wenn $n$ gerade , raus.

Ich muss doch $q$ mit $r$ verketten und das dann mit $p^{- 1}$ verketten oder?

anonymous

12:52 Uhr, 09.07.2014

Dir ist schon klar, das die Definitionsmenge von $f$ die Menge $3 ℕ$ ist, und man somit nur ungerade $n \in f$ hineinsteckt? Deshalb sieht man schon, dass in der Tat etwas noch nicht ganz stimmt.

"Ich muss doch $q$ mit $r$ verketten und das dann mit $p^{- 1}$ verketten oder? "

Ja.
Also langsam:

Für $n \in ℕ :$
$(q \circ r) (n) = q (r (n)) = 4 \cdot r (n)$

Daher ist für gerade $n :$
$(q \circ r) (n) = 4 \cdot (- \frac{n}{2}) = - 2 \cdot n$

Und für ungerade $n$ ist:
$(q \circ r) (n) = 4 \cdot \frac{n - 1}{2} = 2 \cdot (n - 1)$

Nun verknüpft man $q \circ r$ noch mit $p^{- 1}$ .
Statt $n$ steckt man in $q \circ r$ nun $p^{- 1} (n) = \frac{n}{3}$ . So erhält man also:

Für $n \in 3 ℕ$ ist:
$(q \circ r \circ p^{- 1}) (n) = (q \circ r) (p^{- 1} (n)) = (q \circ r) (\frac{n}{3})$

Daher ist für $\frac{n}{3}$ gerade:
$(q \circ r \circ p^{- 1}) (n) = - 2 \cdot \frac{n}{3}$

Und für $\frac{n}{3}$ ungerade ist:
$(q \circ r \circ p^{- 1}) (n) = 2 \cdot (\frac{n}{3} - 1)$

Also insgesamt:

Für $n \in 3 ℕ$ mit $\frac{n}{3}$ gerade:
$f (n) = - 2 \cdot \frac{n}{3}$

Für $n \in 3 ℕ$ mit $\frac{n}{3}$ ungerade:
$f (n) = 2 \cdot (\frac{n}{3} - 1)$

Soweit klar?

denden3 aktiv_icon

13:13 Uhr, 09.07.2014

Danke für die Mühe! Soweit ist das jetzt klar, ich hab die Verkettung auch so angewandt, aber irgendwo hat sich bei mir ein Denkfehler eingeschlichen.

$n \to {- 2 (\frac{n}{3}),$ wenn $\frac{n}{3}$ gerade und $2 (\frac{n}{3} - 1)$ wenn $\frac{n}{3}$ ungerade

danach wird noch die Surj. und Inj. bewiesen, richtig?

also prüfe ich ob die Inj. bei $\frac{n}{3}$ gerade und $\frac{n}{3}$ ungerade zutrifft. genauso fahr ich mit der Surj. fort?

anonymous

14:30 Uhr, 09.07.2014

Ja, wobei du jedoch natürlich nicht beide Fälle einfach so getrennt voneinander betrachten kannst.

denden3 aktiv_icon

14:53 Uhr, 09.07.2014

sondern? Ich hab jetzt $z . B$ . für $n 1, n 2$ in der Inj. erst $n$ ungerade und danach $n$ gerade eingesetzt.

anonymous

15:37 Uhr, 09.07.2014

Beachte, dass es zwar sein könnte, dass zwar verschiede $n_{1}, n_{2} \in 3 ℕ$ mit $\frac{n_{1}}{3}$ ungerade und $\frac{n_{2}}{3}$ ungerade immer auf verschiedene Funktionswerte $f (n_{1}) \neq f (n_{2})$ abbilden und verschiede $n_{1}, n_{2} \in 3 ℕ$ mit $\frac{n_{1}}{3}$ gerade und $\frac{n_{2}}{3}$ gerade immer auf verschiedene Funktionswerte $f (n_{1}) \neq f (n_{2})$ abbilden, aber es dann immer noch sein könnte, dass $n_{1}, n_{2} \in 3 ℕ$ mit $\frac{n_{1}}{3}$ gerade und $\frac{n_{2}}{3}$ ungerade existieren, so dass $f (n_{1}) = f (n_{2})$ ist.

Ein ähnliches Beispiel ist $f : ℝ \to ℝ$ mit $f (x) = x^{2}$ . Da ist zwar die Einschränkung auf $x \geq 0$ injektiv und die Einschränkung auf $x \leq 0$ injektiv, aber $f$ insgesamt dann trotzdem nicht injektiv.

Soweit klar?

Gibt es noch Probleme mit Injektivität (oder Surjektivität)? Wenn ja, wo hängts?

Ein paar Tipps:
Statt direkt zu zeigen, dass $f$ bijektiv ist, kannst du auch zeigen, dass $p, q$ und $r$ bijektiv sind.
Bijektivität kann man (neben Injektivität und Surjektivität) auch zeigen, indem man eine Umkehrfunktion findet.

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