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Beweis Kombinierte Teilbarkeitsregel
Universität / Fachhochschule
Teilbarkeit
Tags: Beweis, Primfaktor, Teilbarkeit
 
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Hallo, ich komme bei folgendem Beweis nicht weiter. Beh.: Wenn a und teilerfremd sind, so gilt: Eine Zahl ist genau dann durch a∙b teilbar, wenn sie durch a und teilbar ist. Bew.: Mein falscher Beweis sieht so aus. Daraus das der ggt(m,n)=1 ist folgt, dass und keinen gemeinesamen Primfaktor besitzen. Aus und folgt, dass sowohl alle Primfaktoren von als auch alle Primfaktoren von enthalten sein müssen. Da also alle Primfaktoren von und enthalten sind und diese voneinander verschieden sind, gilt das m∙n|a. Habe hierzu beim überprüfen schnell ein Gegenbeispiel gefunden. Ist mein Beweis von Ansatz an falsch? Erfolgt der Beweis nicht über die Primfaktoren? Hoffe ihr könnt mir helfen! Vielen Dank im Voraus |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, ich denke, dass man die Primzahlen vielleicht nicht braucht, hängt davon ab, was bereits alles bewiesen wurde. Ich würde so vorgehen: a und sind teilerfremd und eine ganze Zahl ist durch teilbar. Dann ist eine ganze Zahl und wegen der Abgeschlossenheit der ganzen Zahlen bzgl. der Multiplikation sind dann auch und ganze Zahlen. Unter ausnutzung der geltenden Rechenregeln heißt das aber, dass und ganze Zahlen sind. Das aber bedeutet, dass durch a und durch teilbar ist. Umgekehrt seien a und teilerfremd und eine ganze Zahl sei durch a und durch teilbar. Dann ist aber auch durch das kleinste gemeinsame Vielfache von a und kgV(a,b)) teilbar. Wegen der Teilerfremdheit von a und gilt aber: kgV(a,b) Damit ist auch durch teilbar. Dieser primzahllose Beweis basiert natürlich auf zwei anderen Beweisen: und kgV(a,b)|m und Für teilerfremde Zahlen a und gilt: kgV(a,b) Sollten diese noch nicht vorher bewiesen sein, muß man sie vor dem . Beweis erst separat beweisen und dafür bräuchte man dann sehr wahrscheinlich die Primzahlzerlegungen von a und . Aber diese beiden Beweise sind nicht sehr schwierig... |
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Hallo, @feldmaus: Nur als Ergänzung: Warum sollte dein Beweis falsch sein? Nun gut, er ist vielleicht nicht optimal formalisiert, aber die Idee ist doch brauchbar!?! Kannst du dein "Gegenbeispiel" mal zeigen? Mfg Michael |
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Sorry,dass ich erst so spät auf eure Beiträge reagiere und vielen Dank für die schnelle Hilfe!! @michaL: Ich habe gerade festgestellt, dass mein Gegenbeispiel falsch ist. Habe, vermutlich aufgrund meiner schlechten Formulierung, eine Bedingung unberücksichtigt gelassen. Versuche es jetzt noch einmal genauer zu formulieren und wäre dann dankbar über deine/eure Meinung dazu. Vielen Dank nochmal |
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Seien (Element der ganzen Zahlen) gegeben, für die gilt: ggT(m,n)= 1 (2) und Aus folgt, dass und keinen gemeinesamen Primfaktor besitzen. Aus folgt, dass sowohl alle Primfaktoren von als auch alle Primfaktoren von enthalten sein müssen. Da also alle Primfaktoren von und enthalten sind und diese voneinander verschieden sind, gilt auch das m∙n|a. Was haltet ihr von dem Beweis? Ist die Formulierung ok? Kann ich die Einschränkung auf den Bereich der ganzen Zahlen auch weglassen? Müssen noch Hilfsätze bewiesen werden,die ich unbewusst verwendet habe? |
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Er ist im Prinzip richtig, aber von der Formulierung her problematisch, wenn und/oder einen Primfaktor mehrfach enthalten (beispielsweise . auch wenn das richtige gemeint ist. - Kann man die Einschränkung auf weglassen? Leider nein. Wenn man durch einen anderen kommutativen Ring mit 1 ersetzt, ist natürlich etwas ganz anderes zu zeigen (und man hat im Zweifelsfall keine Primfaktorzerlegung mehr): Ausführliche Behauptung: Seien . Für alle mit gelte . Dann gibt es genau dann ein mit wenn es gibt mit . Diese Behauptung stimmt im Allgemeinen leider nicht, wie folgenes Gegenbeispiel zeigt: Betrachte den Fall . Dann sind und zwar teilerfremd in aber ist Vielfaches von sowohl als auch ohne Vielfaches von zu sein. |
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Vielen Dank für Hilfe!! |
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