Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis Konvergenz, Reihe

Beweis Konvergenz, Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

23:28 Uhr, 29.10.2010

Antworten

Ich soll beweisen, dass die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}

auf ganz

{z \in ℂ | | z | \leq 1, z \neq 1}

konvergiert, jedoch für

z = 1

und

| z | > 1

divergiert. Als Hinweis ist gegeben, dass ich für das Konvergenzverhalten am Einheitskreis, für

z \neq 1

die Partialsummen mit

(1 - z)

multplizieren und abschätzen soll.

Wenn

z = 1,

dann handelt es sich ja um die harmonische Reihe und dass die divergiert ist klar! Wie kann ich das aber für

| z | > 1

zeigen? Die Zahlen befinden sich ja ausserhalb des Einheitskreises?! Und wie kann ich die Konvergenz beweisen? Könnt ihr mir da weiterhelfen? Wäre sehr froh!
Vielen Dank schon mal!!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

f (x)

x_{0}

?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

teppich

teppich aktiv_icon

02:26 Uhr, 30.10.2010

Antworten

Vielleicht helfen dir folgende Überlegungen zu Potenzreihen ein wenig weiter:

Betrachten wir

\sum_{n = 1}^{m} \frac{x^{n}}{n}

als "gewöhnliche" Potenzreihe, so kommen wir durch differenzieren (hier ohne Informationsverlust) auf

\sum_{n = 1}^{m} x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{m - 1} x^{n}

(Indexverschiebung)

= \frac{1 - x^{m}}{1 - x}

(Hinweis mit

(1 - x)

zu multiplizieren, bzw. altes Wissen über die geometrische Reihe)

Für

∣ x ∣ < 1

erhalten wir mit

m \to \infty

den Ausdruck

\frac{1}{1 - x}

und durch Integration

- \ln (1 - x)

Insgesamt wäre also

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = - \ln (1 - x)

, wenn

∣ x ∣ < 1

.

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

08:58 Uhr, 30.10.2010

Antworten

Hallo,

für

| z | > 1

folgt die Divergenz aus den Eigenschaften des Konvergenzradius.

Für

| z | = 1

sagt der Hinweis:

(1 - z) \cdot \sum_{n = 1}^{m} \frac{z^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{m} \frac{z^{n}}{n} - \sum_{n = 1}^{m} \frac{z^{n + 1}}{n} = z + \sum_{n = 2}^{m} [\frac{z^{n}}{n} - \frac{z^{n}}{n - 1}] - \frac{z^{m + 1}}{m}

Der Term in der Summe auf der rechten Seite lässt sich abschätzen:

| z^{n} \cdot (\frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1}) | \leq \frac{1}{n \cdot (n - 1)}

was ja bekanntlcih ein konvergente Reihe bildet. Also konvergiert die rechte Seite für

n \to \infty,

also auch die linke, wenn

z \neq 1

.

Gruß pwm

Frage beantwortet

Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

12:34 Uhr, 30.10.2010

Antworten

Wow, super! Vielen Dank!!

811460

811385