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Beweis Norm und normierter Raum?

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Norm, normierter raum

Sunny92 aktiv_icon

19:56 Uhr, 02.05.2013

Hallo Leute,

ich hab ein kleines (oder größeres Problem) beim beweisen der Aufgabe, die ihr unten im Bild seht.

zu a)
Würde ich einfach ein f und g aus der Menge nehmen und sagen, dass sie die Vektorraumaxiome (f+g=g+f etc.) erfüllen. Nicht sonderlich aufwendig. Richtig durchrechnen kann ich bei a) ja nichts, da die Menge ja nur abstrakt da steht.
Reicht das? oder muss ich noch irgendwas mit Beschränktheit und stetigkeit machen?

zu b)
Hier habe ich gar keine Ahnung...Es muss ja irgendwelche Bedinungen geben, die für eine Norm erfüllt sein müssen, jedoch
1. Welche? und 2. wie zeige ich das erforderte für die b)?

Hoffe auf eure Hilfe....

Sunny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

matheleia aktiv_icon

00:26 Uhr, 03.05.2013

0 ist in

C_{b}

. Für alle

a, b

in IR und

f, g \in C_{b}

ist af+bg stetig und wohldef. von

U

nach IR^k. Weiter gilt sogar:
IIaf+bgII<=IaI*IIfII+IbI*IIgII

<

unendlich, also af+bg beschränkt. Es ist schließlich damit

C_{b}

ein Vektorraum. (II.II ist die Norm aus Aufgabe

b)

.
Nun zeigen wir, dass II.II eine Norm ist: Sei IIfII=0 so ist für alle

x \in U :

0<=IIf(x)II_2<=0, also

f

ist die Null-Funktion. Weiter ist offenbar II0II=0. Wir haben für

a

in IR: IIafII=sup IIafII_2

\leq

Sup IaI IIfII_2 = IaI IIfII. Für

f, g \in C_{b}

gilt: IIf+gII = Sup IIf+gII_2

\leq

Sup IIfII+IIgII

\leq

Sup IIfII_2

+

Sup IIgII_2 = IIfII

+

IIgII. Somit ist II.II eine Norm auf

C_{b}

C_{b}

ist vollständig: Siehe Werner Funktional Analysis (Sorry hab keine Zeit mehr, könnte länger dauern)

Sunny92 aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.05.2013

Hi,

danke für die Hilfe. Ich verstehe, was du gemacht hast, kann also die einzelnen Schritte nachvollziehen.

Leider ist mir nicht klar, warum z.B. aus dem zweiten Teil von dir folgt, das ||•|| eine Norm ist.

Was muss den für eine Norm gelten?

matheleia aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.05.2013

Für eine Norm

∣ . ∣

auf X Vektorraum über Körper K muss gelten:
1) |z|=0 <-> z=0
2)

∣ λ z ∣ = ∣ λ ∣ ∣ z ∣

für alle

z \in X

λ \in K

3) für alle

z, w \in X

gilt:

∣ z + w ∣ < = ∣ z ∣ ∣ w ∣

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