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Beweis : Rang einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Matrix, Rang

8mileproof aktiv_icon

10:57 Uhr, 17.06.2012

hallo,

ich habe folgende aufgabe(s.kleines bild ganz unten) versucht zu lösen, bin aber nicht sehr weit gekommen.

dazu habe ich mir folgendes aufgeschrieben:

K

Körper,

A \in K^{n x n}

Rang(A)

\leq 1

gdw.

A = u v^{t},

wobei

u, v \in K^{n}

seien

u = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ . \\ . \\ . \\ u_{n} \end{matrix})

und

v = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ . \\ . \\ . \\ v_{n} \end{matrix}) \in K^{n}

v^{t} = {(v_{1} v_{2} ... ... v_{n})}^{t}

A = u v^{t} = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ . \\ . \\ . \\ u_{n} \end{matrix}) \cdot {(v_{1} v_{2} ... ... v_{n})}^{t} = (\begin{matrix} u_{1} \cdot v_{1} & u_{1} \cdot v_{2} & ... & ... . & ... . & u_{1} \cdot v_{n} \\ u_{2} \cdot v_{1} & u_{2} \cdot v_{2} & ... . & ... . & ... . & u_{2} \cdot v_{n} \\ . . & ... & ... . & ... . & ... . & ... . \\ ... . & ... & ... & ... . & ... . & ... . \\ u_{n} \cdot v_{1} & u_{n} \cdot v_{2} & ... & ... . & ... . & u_{n} \cdot v_{n} \end{matrix})

so und an dieser stelle wusste ich nicht mehr weiter. ich habe mir halt überlegt, dass die 1. spalte von A ein Vielfaches von

v_{1}

ist. die 2. spalte ein VIelfaches von

v_{2}

usw.

d . h

. doch dass ich sie doch so lange eliminieren kann, bis nur eine Zeile übrif bleibt. aber ich weiß nicht wie man das aufschreibt.

edit: die spalten sind doch linear abhängig, kann man damit irgendwie weiterkommen?

kann mir hier jmd. ein paar tipps geben, wie ich weiter machen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

dapso aktiv_icon

11:56 Uhr, 17.06.2012

Hallo
Für

A = u v^{t} \overset{}{\Rightarrow} R a n g (A) \leq 1

könntest du die

j

-te Zeile mit

\prod_{i = 1}^{n} u_{i}

multiplizieren, wobei

i \neq j

.
Zur anderen Richtung: Seien

a_{1}, . . ., a_{n}

die Spalten (oder meinetwegen auch die Zeilen) der Matrix. Wenn der Rang der Matrix

\leq 1

ist, welche Beziehung besteht dann zwischen zum Beispiel

a_{1}

und den übrigen Spalten? Drück diese alle durch

a_{1}

aus und versuch diese Matrix dann als das Produkt von zwei Vektoren darzustellen.

8mileproof aktiv_icon

12:44 Uhr, 17.06.2012

okay. ich habe das ganze ein bisschen modifiziert.

Also:

K

Körper,

A \in K^{n x n}

Rang(A)

\leq 1 \Leftrightarrow A = u v^{t},

wobei

u, v \in K^{n}

seien

u = (\begin{matrix} u_{i} \\ . . \\ . \\ . \\ . \\ u_{n} \end{matrix}), v = (\begin{matrix} v_{j} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ v_{n} \end{matrix}) \in K^{n}

und

"<=" :

A = u v^{t} \Rightarrow

Rang(A)<= 1 kann man die j-te Zeile mit

\prod_{i = 1}^{n} u_{i}

multiplizieren

i \neq j

. Also:

A = u v^{t} = (\begin{matrix} u_{i} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ u_{n} \end{matrix}) \cdot (v_{j} . .

... ... v_{n})^{t} = (\begin{matrix} u_{i} \cdot v_{j} & ... . & ... & ... . & ... . & u_{i} \cdot v_{n} \\ ... . & ... . & ... . & ... . & ... . & ... . \\ . . & ... & ... . & ... . & ... . & ... . \\ ... . & ... & ... & ... . & ... . & ... . \\ u_{n} \cdot v_{j} & ... . & ... & ... . & ... . & u_{n} \cdot v_{n} \end{matrix})

⊙ B . d . A

folgt nach Gauß-Elimination:

(\begin{matrix} u_{i} \cdot v_{j} & ... . & ... & ... . & ... . & u_{i} \cdot v_{n} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

nun die andere Richtung:

"<=" :

seien

(a_{1}, ..., a_{n})

die Spalten der Matrix und Rang

1,

so sind sie lin. abhängig und dann kann man

a_{1}

als Linearkombination der übrigen Spalten aufgefasst werden :

a_{1} = λ_{1} \cdot a_{2} + ... .

+ λ_{n} \cdot a_{n},

wobei

λ_{1}, . .

, λ_{n} \neq 0

welche Matrizen jetzt multipliziert werden sollten, wusste ich nicht. also habe ich mal folgendes gemacht:

(\begin{matrix} a_{2} & ... . & ... . & a_{n} \\ ... & ... & ... . & ... \\ ... . & ... & ... & ... \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} \\ . \\ . \\ λ_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ . \\ . \\ a_{n} \end{matrix})

dapso aktiv_icon

12:56 Uhr, 17.06.2012

Also bei

\overset{}{\Leftarrow}

fangen

u

und

v

schon mit

u_{1}

und

v_{1}

an. Aber sonst hast du ja anscheinend die Idee verstanden.
Bei der anderen Richtung hast du

R a n g (A) \leq 1

noch nicht ausreichend verwendet. Das bedeutet, dass man mithilfe von

a_{1}

alle anderen Spalten ausdrücken kann, nämlich durch eine einfaches Vielfaches von

a_{1}

. Genauer

a_{2} = λ_{2} \cdot a_{1}, . . ., a_{n} = λ_{n} \cdot a_{1}

. Der Spaltenraum wird bei

R a n g (A) = 1

nur durch einen Spaltenvektor aufgespannt. (Fall

R a n g (A) = 0

sollte klar sein.)

8mileproof aktiv_icon

13:09 Uhr, 17.06.2012

okay, dass mit dem

a_{2} = λ_{2} a_{1}, ..., a_{n} = λ_{n} a_{1}

habe ich nicht ganz verstanden. dass man die anderen spalten durch

a_{1}

darstellen kann, schon , aber wie kommt man auf diese Gleichung?

dapso aktiv_icon

13:37 Uhr, 17.06.2012

Jetzt versteh ich deine Frage nicht^^. Ich habe nicht eine Gleichung hingeschrieben, sonsern es sollten

n - 1

Gleichungen sein:

a_{2} = λ_{2} \cdot a_{1}

a_{3} = λ_{3} \cdot a_{1}

...

a_{n} = λ_{n} \cdot a_{1}

Das weiß man, da der Rang kleiner gleich 1 ist. Somit kann man die Matrix

A

ein wenig umschreiben.
Hilft das weiter?

8mileproof aktiv_icon

17:12 Uhr, 18.06.2012

ja, okay. jetzt ist es klarer geworden. ich hatte wohl in dem vorherigen beitrag schwierigkeiten mit der notation. jetzt verstehe ich aber was du meinst.

8mileproof aktiv_icon

15:00 Uhr, 19.06.2012

also könnte ich das auch so schreiben :

a_{1} \cdot (\begin{matrix} λ_{2} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ λ_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \\ . \\ . \\ . \\ . \\ a_{n} \end{matrix})

oder?

edit: wie kriege ich jetzt wieder den bogen zu

A = u \cdot v^{t}

? war das denn nicht zu zeigen?

dapso aktiv_icon

20:05 Uhr, 19.06.2012

Das Prinzip stimmt, die Schreibweise aber nicht. Wähle

u = a_{1}

und als

v = (1, λ_{2}, . . ., λ_{n})

. Bei deiner Schreibweise passen die Dimensionen nicht.

8mileproof aktiv_icon

10:10 Uhr, 21.06.2012

okay.

hab das ganze jetzt so aufgeschrieben:

u \cdot (\begin{matrix} 1 \\ λ_{2} \\ . \\ . \\ λ_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \\ . \\ . \\ . \\ a_{n} \end{matrix})

ist es so richtig?

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