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Beweis Rechenregel für lim sup und lim inf

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

Matheneuling300 aktiv_icon

18:35 Uhr, 26.11.2017

Sei (an) beschränkt und (bn) konvergent mit Grenzwert

b

. Dann gilt:

lim

sup(an+bn) = limsup an

+ b

lim

inf(an+bn) = liminf an

+ b

Wie kann ich da am besten vorgehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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DrBoogie aktiv_icon

18:42 Uhr, 26.11.2017

Am einfachsten wohl indirekt zeigen, dass einmal

\leq

gilt und einmal

\geq

Matheneuling300 aktiv_icon

19:04 Uhr, 26.11.2017

Aber ich versteh trotzdem nicht wie ich da vorgehen muss. Welche Aspekte müssen, denn bewiesen werden? Was genau ist da der Ansatz?

DrBoogie aktiv_icon

19:20 Uhr, 26.11.2017

Einfach nach Definition vorgehen.

Z.B. Beweis von

limsup (a_{n} + b_{n}) \leq limsup a_{n} + b

.
Indirekt. Annahme:

limsup (a_{n} + b_{n}) > limsup a_{n} + b

.
Sei

ε = 0.3 (limsup (a_{n} + b_{n}) - (limsup a_{n} + b))

.
Nach Definition des Grenzwertes gibt's ein

N_{1}

, so dass

∣ b_{n} - b ∣ < ε

für

n > N_{1}

.
Nach Definition vom limsup gibt's ein

N_{2}

, so dass

a_{n} < limsup a_{n} + ε

für

n > N_{2}

.
Wiederum nach Definition vom limsup gibt's ein

N > max {N_{1}, N_{2}}

, so dass

a_{N} + b_{N} > limsup (a_{n} + b_{n}) - ε

.

Dann gilt:

a_{N} + b_{N} = a_{N} + b + (b_{N} - b) < a_{N} + b + ∣ b_{N} - b ∣ < a_{N} + b + ε < limsup a_{n} + ε + b + ε =

= limsup a_{n} + b + 2 ε

.
Andererseits

a_{N} + b_{N} > limsup (a_{n} + b_{n}) - ε

, beides zusammen ergibt

limsup (a_{n} + b_{n}) - ε < limsup a_{n} + b + 2 ε

oder

(limsup (a_{n} + b_{n}) - (limsup a_{n} + b) < 3 ε

, was nicht möglich ist, denn

3 ε = 0.9 (limsup (a_{n} + b_{n}) - (limsup a_{n} + b)) < (limsup (a_{n} + b_{n}) - (limsup a_{n} + b))

.

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war und dass

limsup (a_{n} + b_{n}) \leq limsup a_{n} + b)

gelten muss.

Und genauso auch die anderen Fälle behandeln. Ist ziemlich ätzend, aber leider geht kein Weg vorbei.

Matheneuling300 aktiv_icon

17:09 Uhr, 27.11.2017

Vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort.

Und dann muss ich die andere Richtung noch beweisen und schließe dann auf Gleichheit?
Und warum hast du angenommen, dass Epsilon=0,3(limsup (an+bn)- (limsup an+b))?

DrBoogie aktiv_icon

17:22 Uhr, 27.11.2017

"Und dann muss ich die andere Richtung noch beweisen und schließe dann auf Gleichheit?"

Ja.

"Und warum hast du angenommen, dass Epsilon=0,3(limsup (an+bn)- (limsup an+b))?"

Ich darf

ε

wählen, also habe ich ein passendes gewählt. Wobei

0.3

bei weitem nicht die einzige Wahl ist, mit

0.2

vorne würde auch gehen.

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