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Beweis Rechenregeln modulo

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Modulorechnung

gotnoidea aktiv_icon

18:31 Uhr, 01.11.2014

Guten Abend hilfsbereite Damen und Herren,

folgende wohl bekannte Beziehungen sind zu beweisen:

(i)

(a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m

(ii)

(a \cdot b) mod m = (a mod m) \cdot (b mod m) mod m

(i) :

Sei

m \in ℕ

und

a, b \in ℤ

wegen

a \equiv b (mod m) \Leftrightarrow a - b = k \cdot m

mit

k \in ℤ

kann ich die zu beweisende Gleichung umschreiben in:

a + b - a mod m - b mod m = k \cdot m

a, b

darstellbar als:

a = q_{a} \cdot m + r_{a}

und

b = q_{b} \cdot m + r_{b}

mit

q_{a}, q_{b} \in ℤ

q_{a} \cdot m + r_{a} + q_{b} \cdot m + r_{b} - r_{a} - r_{b} = k \cdot m

\\(1), womit

k = q_{a} + q_{b}

Nun meine erste Frage..was sagt mir

k = q_{a} + q_{b}

in Verbindung mit der zu beweisenden Beziehung?
Ich kann das Ergebnis leider in keinen mir einleuchtenden Zusammenhang bringen.

zu (ii) dachte ich mir, dass man dort womöglich die selbe Beziehung ausnutzt und für

(a \cdot b) mod m = (a mod m) \cdot (b mod m) mod m \Leftrightarrow (q_{a} \cdot m + r_{a}) \cdot (q_{b} \cdot m + r_{b}) - (r_{a} \cdot r_{b}) = k \cdot m

mit

k \in ℤ

schreibt.

Daraufhin komme ich auf folgenden Term, der mir garnichts einleuchtet:

k = m \cdot q_{a} \cdot q_{b} + q_{a} \cdot r_{b} + q_{b} \cdot r_{a}

Ich hoffe mir kann jemand helfen,

vielen Dank und freundliche Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

18:43 Uhr, 01.11.2014

Hallo,

q_{a}

und

q_{b}

sind ganze Zahlen. In welchen Zahlenbereich würdest du dann ihre Summe

k = q_{a} + q_{b}

einordnen?

gotnoidea aktiv_icon

19:42 Uhr, 01.11.2014

Danke erstmal für die schnelle Antwort.

der Term

k

ist somit auch ganzzahlig. Mir ist auch klar, dass die Beziehung mit

(. .)

ist ein ganzzahliges Vielfaches von

(. .), d . h

(. .)

bewiesen werden kann - aber ich erkenne die konkrete Beziehung, was nun ganzzahliges Vielfaches von wem ist noch nicht..

ledum aktiv_icon

22:48 Uhr, 01.11.2014

Hallo
wie kommst du auf

a = b mod m

richtig ist amod

m = r_{a}

oder

a = k_{1} \cdot m + r_{a}

bmodm=r_v

b = k_{2} \cdot m + r_{b} r_{a}, r_{b} < m

a + b = (k_{1} + k_{2}) \cdot m + r_{a} + r_{b}

(a+b)modm=(r_a+r_b)

mod m

amodm+bmodm=(r-a+r_b), (amodm+bmodm) modm=(r-a+r_b)modm
ähnlich bei der Multiplikation
zu deinemr letzten Frage: mit k=qa⋅qb+qa⋅rb+qb⋅ra kannst du doch jetzt schreiben

k \cdot m + r_{a} \cdot r_{b}

und km=0 modm
Gruß ledum

gotnoidea aktiv_icon

11:57 Uhr, 02.11.2014

Hallo ledum,

ich gehe nicht davon aus, dass

a = b mod m,

sondern dass a kongruent ist zu

b

bezüglich modulo

m

d . h

a mod m = b mod m

in anderer Schreibweise:

a \equiv b (mod m)

Ok, ich sehe, dass du die Beziehung genau andersrum bewiesen hast. Funktioniert denn meine Herangehensweise ebenso?

Mein letzter Term war, wie ich entdeckt habe falsch. Dieser lautet wie oben korrigiert:

q_{a} \cdot q_{b} \cdot m^{2} + q_{a} \cdot m \cdot r_{b} + q_{b} \cdot m \cdot r_{a} = k \cdot m

bzw.

q_{a} \cdot q_{b} \cdot m + q_{a} \cdot r_{b} + q_{b} \cdot r_{a} = k

Deinen letzten Absatz verstehe ich leider nicht,

d . h

. wie ich den Term nun umschreiben kann.
Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen.

Vielen Dank schon mal für die Hilfe!

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